Låt oss först gå igenom några praktiska saker innan vi kör igång med läsanvisningarna. Jag har lagt upp kursen på följande vis: Vi träffas (fysiskt) en gång under kursen, se nedan, och i övrigt så har vi träffar via Marratech (se information bland länkarna). Till varje kapitel så kommer jag skriva några frågor som ni kan fundera på. Det kommer även finnas inlämningsuppgifter, som är bland annat grunden för erat betyg, på kursen. Läs mer om inlämningsuppgifterna under examinationsdelen till vänster. Eftersom detta är en distanskurs så kommer det vara mycket egenstudier med ett fåtal träffar, via Marratech. Då vi väl träffas via Marratech så hoppas jag på trevliga diskussioner. Vid varje kapitel så har jag skrivit ett antal dikussionsfrågor som jag tycker att ni ska tänka på när ni läser.Ni kommer även en bit in i kursen få några förslag på projekt som ni skall göra för att få godkänt. Projekten kommer ni kunna hitta under examinationsdelen. Har ni frågor så kan ni alltid maila mig eller komma förbi mitt kontor O217 i Sundsvall. Läs mer hur du kan komma i kontakt mig under kontaktlänken till vänster.

Inga träffar är obligatoriska, varken virtuella eller fysiska. Jag rekommenderar dock att ni försöker medverka på så många som möjligt.
Vi kommer ha följande schema för kursen:

Vecka 4:
Inför denna vecka så är det bra om ni hinner ögna igenom kaptiel 1-3 i boken.
Tisdag 20/1: Föreläsning klockan 10:15-15:00 i Sal M314

Vecka 5:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 4 och 5.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 6:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 6-8.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 7:
Välj projekt till denna vecka.
Denna vecka är det egenstudier av kaptiel 9-11 i boken.
Se diskussionsfrågorna nedan.
Fredag 13/2 Deadline inlämningsuppgift 1.

Vecka 8:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 12,13 och 15.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 9:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 16-17.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 10:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 18-19.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 11:
Denna vecka är det egenstudier av kaptiel 20-22 i boken.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 12:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 25,26 och 28.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 13:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 31-33.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 14:
Denna vecka är det egenstudier av kaptiel 36 och 40 i boken.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 15:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 41-43.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 16:
Denna vecka är det egenstudier av kapitel 44 och 51.
Se diskussionsfrågorna nedan.

Vecka 17:
Jobba med projektet.

Vecka 18:
Jobba med projektet.

Vecka 19:
Jobba med projektet.

Vecka 20:
Jobba med projektet.

Vecka 21:
Deadline projekt

Vecka 22:
Projekt tillbaka

Vecka 23:
Eventuella kompletteringar in.

Diskussionsfrågor, Inlämningsuppgifter och föreläsningsanteckningar:

Kapitel 1-3 - Diskussionsfrågor

Föreläsningsanteckningarna från första träffen: Babylonisk matematik, Egyptisk matematik och Grekisk matematik.

Hur tror du att Babylonierna gjorde sina multiplikationstabeller? Tänk efter varför vi oftast lär oss upp till 9:ans multiplikationstabell?
Hur fick Babylonierna fram en formel för andragradsekvationer? Tror du att de använde sig av kvadratkomplettering?
Jämför dagens matematik med Egyptiernas. Finns det några likheter?
Multiplikation hos Egyptierna var annorlunda än vad vi är van vid. Jämför multiplikationen med binär multiplikation, dvs med binära tal. Beräkna sedan 13*19 som Egyptierna.
Egyptierna delade alltid upp sina bråk i stambråk. Använd Egypitiernas metod för att dela upp 5/7 i stambråk.
Kan du uppskatta cirkelns area på något vis? Hur tror du Egyptierna gjorde?
Vad är kommuserabla respektive inkommuserabla tal.
Gör alla detaljer i beviset av att roten ur 2 är inkommuserabel med 1.
Tolka Zenons paradoxer om tid och rum som modern matematik. Vad handlar det hela om?
Pröva konstruera saker med passare och linjal. Tänk på att man inte har enheter, så man måste bestämma sig vad en enhet är innan man t.ex. konstruerar en kvadrat eller triangel.
Tänk igenom Aristoteles idéer med axiom och postulat. Kan du ge något exempel på dessa begrepp?

Kapitel 4-5 - Diskussionsfrågor

Euklides Elementa finns tillgänglig att bläddra runt i här.

Vilken betydelse hade och har Euklides Elementa? Hur mycket av innehållet i Elementa var egentligen Euklides bidrag? Beskriv kortfattat hur Elementa är uppbyggt.
När skrevs Elementa? Hur gammal är den äldsta bevarade kopian?
Vad är skillnaden mellan axiom (common notions) och postulat?
Finns det några problem med Euklides val av axiom och postulat?
Studera Euklides bevis för Pythagoras sats. Hur skulle du välja att bevisa den i dag (med moderna metoder tillgängliga)?
Bok 5 i Elementa behandlar "storheter". Är det rimligt att säga att denna bok var en grund för en teori för de reella talen?
Nämn några intressanta problem inom talteori som löses i Elementa.
Under den alexandrinska perioden blomstrade den grekiska kulturen. Nämn några framsteg som gjordes inom mekanik och fysik.
Vem är den mest kände matematikern från den alexandriska perioden? Redogör för något eller några av hans viktigaste resultat.
Kurvor som inte kunde konstrueras med passare och linjal betraktades med stor skepsis. Varför? Så småningom studerades kägelsnitt och vissa andra mer "exotiska" kurvor som konstruerades för att lösa något visst specifikt problem. Ge exempel på någon sådan kurva.
Hur, när och varför uppstod den tidiga trigonometrin? Varför studerades sfäriska trianglar?
Vilken betydelse hade Ptolemaios och hans bok Almagest?

Gör följande inlämningsuppgifter och skicka dem till mig. Absolut senast den 13/2 2009 vill jag ha dem.

Kapitel 6-8 - Diskussionsfrågor

Hur skrev grekerna heltal och rationella tal? Kan du se några för- eller nackdelar jämför med de andra tidiga systemen att betckna tal?
Nichomachus skrev en bok Introductio Arithmetica. Vad är det som gör den boken så intressant?
I vilken utsträckning utvecklades algebra under slutet av den alexandrinska perioden? Vad bidrog Diofantos med? Vilka brister kan du urskilja i Diofantos angreppssätt?
Vilken var grekernas drivkraft för att studera matematik på det sätt de gjorde?
På vilket sätt kan man säga att en slags rationell världssyn utvecklades under slutet på den grekiska storhetstiden?
Vad är skillnaden mellan Platons och Aristoteles syn på matematiken?
Hur såg den grekiska världsbilden ut? Hur tänkte de sig himlakropparnas relation till varandra?
Gör en kort sammanfattning över hur långt matematiken hade kommit när den grekiska civilisationen gick under. Vilka var de största hindren för vidare utveckling?
Hur bidrog den romerska civilisationen till matematikens utveckling?

Kapitel 9-11 - Diskussionsfrågor

Den indiska storhetsperioden (vad gäller matematik) får sägas vara epoken 200-1200 e.Kr. Vilka var de viktigaste framstegen som gjordes? Vilken ställning hade 0 och negativa tal i den indiska matematiken?
Säg några ord om al-Khowarizmi och hans bidrag till matematikens utveckling.
Sammanfatta matematikens ställning omkring år 1300. Vad hade egentligen hänt sedan den grekiska civilisationens nedgång?
På vilket sätt kan man säga att den katolska kyrkan var viktig för vetenskapens överlevnad i medeltidens Europa? På vilket sätt motverkade den utvecklingen?
När och varför återuppväcktes intresset i Europa för de gamla verken från antiken?
Vem var Leonardo av Pisa? Varför kommer vi ihåg honom än i dag?
Under 14- och 1500-talen hände många saker som fundamentalt ändrade förutsättningarna för matematik och vetenskap i allmänhet. Vilka?
Nämn någon av renässansens tidiga matematiker och redogör kortfattat för hans bidrag.
Något som hade mycket stor inverkan på den naturvetenskapliga revolutionen var att man på 1500-talet började göra systematiska experiment. Varför hade man aldrig gjort det tidigare? Bidrog dessa tidiga experiment även till matematikens utveckling?

Kapitel 12-13 och 15 - Diskussionsfrågor

Varför väcktes det ett intresse för projektiv geometri under renässansen?
Diskutera Kopernicus och Keplers bidrag till astronomin. Hade dessa resultat någon inverkan på matematiken?
Vilken ställning hade de irrationella talen på 1500-talet? Hur var det med negativa tal? Hade man en förståelse för det reella talsystemet? Varför argumenterade till exempel Walls för att "-1 är större än oändligheten"?
När och varför började man räkna med komplexa tal?
Under 1500-talet blev det allt vanligare att man arbetade med olika typer av oändliga processer, till exempel kedjebråk och oändliga summor/produkter. Vilkja slags problem löstes med sådana metoder? Hade man ett gränsvärdesbegrepp?
Hur växer de symboler vi använder i dagens algebra fram? Vad bidrog Vieta med?
Beskriv hur lösningen av tredjegradsekvationen kommer till. Varför tävlade man om att lösa ekvationer i stället för att publicera sina lösningar?
När löstes fjärdegradsekvationen? Hur är det med femtegradsekvationer? Vem ligger bakom faktorsatsen?
Vad var drivkraften bakom den tidigaste utvecklingen av sannolikhetsteori?
Varför kommer vi ihåg Fermat?
Hur och när började man se samband mellan algebra och geometri? När introduceras koordinatsystem och på vilket sätt revolutionerade de matematiken?

Kapitel 16-17 - Diskussionsfrågor

Beskriv kortfattat Descartes viktigaste filosofiska idéer. Hur såg Descartes och Gallilei på naturvetenskapen? Vilken är den viktigaste skillnaden mellan Gallileis synsätt och Arisoteles?
Vad är longitudproblemet? Hur löstes det slutgiltligen? (Boktips)
Hur uppstod det matematiska funktionsbegreppet? Hur generellt var begreppet från början?
Vilka var de naturvetenskapliga problemen som ledde till analysens utveckling?
Studera Fermats metoder för att bestämma tangenten till en kurva och att lösa min/max-problem. Varför räknas inte Fermat som analysens fader?
Hur generella var Cavalieris, Robervals och Wallis metoder för att beräkna areor? Varför räknas inte någon av dessa som analysens fader?
Wren och Huygens beräknade längden av (vissa kurvor). Varför räknas inte någon av dem som analysens fader?
Vad skiljer Newtons arbete från dem vi räknat upp ovan? Varför räknas han (och/eller Leibniz) som analysens fader? Vad menar Newton med fluxioner och fluenter? Hur rigorösa är hans metoder? Hur presenterar Newton sina metoder i Principia.
På vilket sätt skiljer sig Newtons och Leibnizs angreppssätt? Hur rigorös är Leibniz? Vilken mening har Leibniz infinitesimaler: dx?
Nämn några av de bidrag till analysen som kommer precis efter Newtons och Leibniz publikationer. Känner ni igen resultaten från dagens A-kurser?
Vilka var de logiska invändingarna mot Newtons och Leibniz arbeten? Är det rimligt att säga att analysen vilade på en fast grund i slutet av 1600-talet? Lyckades man täppa till luckorna i argumenten?

Kapitel 18-19 - Diskussionsfrågor

Varför och på vilket sätt tappade gemoetri i betydelse under 16- och 1700-talet?
Hur kommer det sig att kraven på bevis dramatiskt sänktes?
Banden mellan matematik och naturvetenskap knöts allt starkare under denna tidsperiod. Ge några exempel som belyser detta påstående.
På vilket sätt organiserades vetenskapsmännen? Hur försörjde de sig? Hur publicerades deras resultat? Vilken roll spelade universiteten?
1700-talets störste matematiker var Euler. Redogör för några av hans resultat.
Hur utvecklades funktionsbegreppet under 1700-talet? Jämför med vårt moderna funktionsbegrepp.
Ett antal "nya" funktioner konstruerades och studerades. Varför? Ge exempel på någon sådan funktion.
Vilka framsteg gjordes i flervariabelanalys?
Vilka försök gjordes under 1700-talet för att ge analysen en fastare grund? Hur framgångsrika var dessa försök? Vilka invändningar restes mot analysens grundidéer?

Kapitel 20-22 - Diskussionsfrågor

Redogör för några av problemen som uppstod när man började studera oändliga serier.
Varför ägnades så mycket tid åt att hitta snabbt konvergerande serier för de vanligaste funktionerna?
Jämför Gregory-Newtons och Taylors metoder att hitta serierepresentationer.
Ge exempel på hur slarvigt man hanterade oändliga serier.
Redogör kortfattat för hur man blev mer medveten om problemet med oändliga seriers konvergens. Kunde man ge en godtagbar förklaring på varför användningen av divergenta serier kunde leda till orimliga resultat?
Nämn några av de fysikaliska problem som drev på utvecklingen av en teori för ordinära differentialekvationer.
Vilka slags metoder användes för att lösa differentialekvationer? Jämför med hur det ser ut i dag.
Redogör kortfattat för trekropparproblemets historia.
Varför började man att studera partiella differentialekvationer?
Varför var lösningen till vågekvationen så kontroversiell? På vilket sätt påverkades funktionsbegreppet av denna lösning?

Kapitel 25-26 och 28 - Diskussionsfrågor

Vad säger algebrans fundamentalsats? Redogör kortfattat för dess betydelse och historia.
På vilket sätt påverkade Gauss bevis av algebrans fundamentalsats på hur man såg på begreppet "matematisk existens"?
Vad är finessen med Lagranges angreppssätt för att lösa polynomekvationer?
Ge en kort sammanfattning av analysens utveckling och ställning under 1700-talet. Hur var läget omkring år 1800?
Sammanfatta den filosofiska synen på matematiska bevis och matematiska sanningar under 1700-talet.
Vilka var huvudproblemen inför det nya århundradet?
Redogör kortfattat för Fouriers bidrag till studiet av partiella differentialekvationer, i synnerhet värmeledningsekvationen.
Hur mottogs Fouriers idéer om serieutvecklingar i termer av trigonometriska funktioner (det vi i dag kallar Fourierserier)?

Kapitel 31-33 - Diskussionsfrågor

Vilka regelbundna n-hörningar kan konstrueras med passare och linjal? Vilken betydelse har detta problem för lösningen av allmänna polynomekvationer?
Vad visar egentligen Abel och Galois? Vad är en grupp? Vad är en kropp? (Ta gärna hjälp av andra källor.)
Hur fick problemen om vinkelns tredelning och kubens fördubbling till sist sina lösningar?
Hur skedde den tidiga axiomatiseringen av algebra? (Peacock, de Morgan, etc) Ge modern kritik mot deras angreppssätt.
Hur definierar Hamilton de komplexa talen? På vilket sätt är denna definition överlägsen de tidigare?
Varför letade man "tredimensionella varianter" av de komplexa talen? Hur gick letandet?
Hur utvecklades teorin för matriser och determinanter under andra halvan av 1800-talet? Hur är det med kvadratiska former och egenvärden/egenvektorer?

Kapitel 36 och 40 - Diskussionsfrågor

Varför ansågs euklidisk geometri som absolut sann fram tills 1800-talet?
Varför försökte man (redan på de gamla grekernas tid) att bevisa parallellpostulatet utifrån de övriga postulaten i Euklides (alternativt ersätta det med ett "enklare" postulat)? Ge några exempel på hur dessa försök gick till.
Hur togs de första stegen mot att skapa en icke-euklidisk geometri? Vilken insikt var det som möjliggjorde detta arbete?
Vilka var de viktigaste konsekvenserna av skapanded av icke-euklidisk geometri?
Hur (och varför) utvidgades funktionsbegreppet under första halvan av 1800-talet?
Hur bidrog Bolzano, Cauchy och Weierstrass till att ge analysen en mer rigorös grund?
Hur mottogs exemplen på "patologiska" funktioner, som till exempel Weierstrass exempel på en funktion som är kontinuerlig men ingenstans deriverbar?
Vad är skillnaden mellan kontinuitet och likformig kontinuitet? Vem var det som systematiskt gjorde distinktionen?
Hur utvecklades teorin för oändliga serier och integraler under 1800-talet?
Vad var det som saknades för att den matematiska analysen skulle vara helt rigorös när Cauchy och Weierstrass hade gjort sitt?

Kapitel 41-43 - Diskussionsfrågor

Vad är ett algebraiskt respektive transcendent tal? Försök ta reda på hur man bevisar att e är transcendent.
Redogör för Dedekinds konstruktion av de reella talen.
Hur definierar Peano de naturliga talen och de rationella talen?
Redogör kortfattat för oändlighetsbegreppets utveckling från antiken till innan Cantor.
Varför tyckte sig Cantor behöva en teori för oändliga mängder? Hur mottogs den? Vad menas med begreppet kardinalitet?
Vad säger kontinuumhypotesen?
På vilket sätt korrigerade Hilbert Euklides axiom?
Ge en kort sammanfattning av de viktigaste framstegen under 1800-talet.
Hur försköts betydelsen av begreppet "sanning" under 1800-talet?

Kapitel 44 och 51 - Diskussionsfrågor

Vilka brister hade Riemannintegralen? (Ni kan eventuellt behöva använda några andra källor.)
Vad är huvudidén bakom Lebesgueintegralen? Vilka fördelar har den över Riemannintegralen?
Vad är Russells paradox? Vilka konsekvenser hade den för utvecklingen av mängdläran?
Vad är boolsk algebra? Finns det några moderna tillämpningar av denna?
Vad försökte Russell och Whitehead göra med sin Principia Mathematica? Hur gick det?
Vad är logicism, intuitionism/konstruktivism och formalism? Vilken skola "vann"?
Vilket är Gödels huvudresultat och vilka var konsekvenserna av detta resultat?