Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner

Vinkel mellan linje och plan - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

För att beräkna vinkeln mellan en linje och plan behöver vi först definiera vad vi menar med vinkeln mellan en linje och ett plan. Vi definierar nu denna vinkel till att betyda vinkeln mellan linjens riktningsvektor och planets yta. Vinkeln mellan två vektorer har vi gått igenom tidigare. Vi utnyttjade skalärprodukten för att beräkna den, och vi gör på samma sätt här.

Vi har dock inte direkt tillgång till någon riktning i planets yta. Därför gör man normalt så att man först beräknar vinkeln j mellan linjens riktningsvektor och planets normalvektor. Den vinkel vi söker är då q = 90° - j . Försök övertyga dig själv om att det är riktigt.

Här nedan ser du ett exempel på detta. Planet är grått, dess normalvektor kallas n och linjens riktningsvektor kallas v, och är betecknade med en röd respektive blå pil. Den sökta vinkeln är utritad med en lila båge. (Ibland syns även en del av en båge med samma färg som bakgrunden. Det är ett grafikfel, så bortse ifrån den.)
///////////////////////////////////// // Rotatable coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for coordinate system // Sphere that contains the coordinate system // Z-axis // XY-plane // XY-circle // X-axis // YZ-plane // XZ-plane // Y-axis ///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // .Origin for .X-.Y-coordinate system // .X-axis // .Y-axis // .Z-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // X- and Y-coordinates in fixed system // Z-coordinates in fixed system // Coordinates in rotatable system // XY-points in rotatable system // Points in rotatable system // Plane // Line // Angle between line and plane ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Du kan nu ta tag i vektorerna n och v med musen och förändra dem. Du ser då hur vinkeln hänger med och förändras. Flytta nu runt vektorerna, och se till att du får en bild av vad vinkeln mellan linje och plan innebär. Vrid på det vänstra koordinatsystemet för att se det ur olika vinklar.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några plan och linjer, beräkna vinkeln mellan dem, och pricka in dem i koordinatsystemet.

Tillbaka till Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-08