Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Subtraktion, z1-z2 - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Subtraktion av komplexa tal är väldigt likt addition. Har du inte läst det avsnittet innan, så gör det nu. När man subtraherar komplexa tal gäller samma räkneregler som vanligt. Man får bara komma ihåg att hantera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Om vi har två komplexa tal, z1 = a+bi och z2 = c+di, beräknar vi deras differens så här: z1-z1 = a+bi – (c+di) = a-c + bi-di = (a-c) + (b-d)i. Notera hur vi subtraherar som vanligt, och sedan grupperar termerna så att vi får de reella för sig och de imaginära för sig. Vi kan alltså med blotta ögat se att differensen har realdelen a-c och imaginärdelen b-d. Vi ser alltså att vid subtraktion med komplexa tal kan man subtrahera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på subtraktion av komplexa tal. Talen kallas som ovan z1 och z2, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Du kan också se att real- och imaginärdelarna till talen är diskret utmärkta med ljusgrå linjer. Nu sitter dessa dock inte längre på axlarna, utan "följer med" ut till punkten. Detta för att tydligare illustrera hur talen byggs upp av sina real- och imaginärdelar. Differensen z1-z2 är betecknad med en grön punkt och linje.

I figuren visas geometriskt hur subtraktionen fungerar. Vi sade nyss att man får subtrahera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Om vi startar i origo och går längs den reella axeln sträckan Re(z1), och sedan går sträckan Re(z2) baklänges, så har vi realdelen för z1-z2. Sedan gör vi likadant med imaginärdelarna. Eftersom detta är en rent geometrisk konstruktion ser vi att vi lika gärna kan följa de grå linjerna i ett sick-sack-mönster från origo ut till z1-z2. Men två och två så utgör de grå linjerna inget annat än de ursprungliga komplexa talen z1 och z2. Om vi ser linjerna som vi ritat de komplexa talen med som pilar, så kan vi alltså konstruera differensen av talen genom att göra ett "tåg" av pilar.

Vi kan dock inte flytta z2 direkt dit z1 slutar, för då skulle vi ju (som vi tidigare sett) få summan av dem i stället. Vi kan dock lätt ordna det genom att till z1 addera –z2, och vi har nyss sett att man får –z2 genom att bara byta håll på den. Vi kan alltså konstruera differensen av talen genom att rent geometriskt först byta håll på pilen för z2 och sedan "flytta" den så att den börjar där pilen för z1 slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där differensen börjar och slutar. Detta förklarar varför jag ritat in z2 på två ställen. Där jag skrivit -z2 har jag alltså bytt håll på den och förflyttat den dit z1 slutar.

Detta går att göra med hur många komplexa tal som helst tillsammans. Man sätter dem bara i en lång rad, och byter håll på dem som skall subtraheras. Det spelar heller ingen roll i vilken ordning man sätter dem. Prova själv så får du se. Akta dig bara så att du inte förändrar storlek eller riktning på något tal. Det är bara placeringen man får ändra (annars ändrar du ju real- eller imaginärdelen, och då är det ju inte samma tal längre).

Du kan nu ta tag i de båda komplexa talen z1 och z2 med musen och släpa runt dem i det komplexa talplanet. Du ser då hur differensen hänger med och förändras. Det gör även -z2, (som vi bytt håll på och förflyttat) liksom de gråa real- och imaginärdelarna. Släpa nu runt z1 och z2 till olika ställen, och se till att du får en bild av hur subtraktionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du märker är subtraktion av komplexa tal nästan samma sak som subtraktion av vektorer.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna deras differens, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför subtraktionen både genom att subtrahera real- och imaginärdelar, och genom att lägga pilar efter varandra.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07