Referenser utan parenteser är till [J] edition 5, referenser i ()-parenteser är till [J] edition 4, och referenser i []-parenteser är till [J] edition 6.

[J] sida 69-71 (79-83) [110-112]

4. (2a.) [4.] t₃ = 2 · 3 - 1 = 5;

5. (2b.) [5.] t₇= 2 · 7 - 1 = 13;

6. (2c.) [6.] t₁₀₀ = 199;

7. (2d.) [7.] t₂₀₇₇ = 4153;

8. (2e.) [8.]

t i

= t1 + t2 + t3 = 1 + 3 + 5 = 9;

9. (2f.) [9.]

(2i - 1)

= 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45;

10. (2g.) [10.]

t i = t1 x t2 x t3 = 1 x 3 x 5 = 15;

11. (2h.) [11.]

t i = 5 x 7 x 9 x 11 = 3465;

12. (2i.) [12.]   Följden s definierat genom att låta s_i = 2i + 1, där i=0, 1, 2, 3, ..., är lika med följden t.

13. (2j.) [13.]   Ja.

14. (2k.) [14.]   Nej.

31. (6a.) [51.] b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = -1 + 2 - 3 + 4 = 2;

32. (6b.) [52.] b₁ + b₂ + ... + b₁₀ = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 + 10 = 5;

33. (6c.) [53.] Följden är   -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5, -6, 6, ..., så den kan t.ex. definieras genom

cn   =

{

-(n + 1)/2 n/2

om n är udda; om n är jämnt;

n = 1, 2, 3, ....

34. (6d.) [54.] Följden är -1,   -1x2,  1x2x3,   1x2x3x4,   -1x2x3x4x5,   -1x2x3x4x5x6, ..., så om vi definierar
n! := 1x2x3x4x5x...x n, då kan följden t.ex. definieras genom

dn   =

{

-(n!) n!

om 4 delar n-1 eller n-2; om 4 delar n-3 eller n-4;

n = 1, 2, 3, ....

35. (6e.) [55.] Nej;

36. (6f.) [56.] Nej.

45. (8c.) [69.] Observera att x ₁ + x_n = x ₂ + x_n-1 = x ₃ + x_n-2 = ..., därför har vi, att

c_n = (n/2)·(x ₁ + x_n).
Observera också, att   x₁ =2,     x₂ =2 +3,     x₃ = 2 +2·3,   x ₄ = 2 +3·3,   ...  ,  x _n =2 +(n-1)·3. Därav följer nu svaret i [J].

59. (12a.) [87.]   2, 4, 8, 16, 32, 64, 128;

60. (12b.) [88.]  2¹ ,  2² ,  2 ⁴,  2⁷ ,  2 ¹¹,  2¹⁶ ,  2 ²²;

61. (12c.) [89.] n_k = n_k-1 + (k-1), så  n _k= (k-1)+(k-2)+ ... + 3+2+1 + n₁ = k(k-1)/2  + n₁ = k(k-1)/2  + 1.

62. (12d) [90] k:te element i delföljden är 2^n_k.

84. (17.) [112.] i=k+1, så k=i-1. Därför är

i2 rn-i

=

(k+1)2 r n-k-1

85. (18) [113] k=i+1, så i=k-1. Därför är

Ck-1 Cn-k

=

Ci Cn-i-1

88. (21.) [116.]
a. baabcaaba;
b. caababaab;
c. baabbaab;
d. caabacaaba;
e. 9;
f. 9;
g. 8;
h. 10;
i.  baab;
j.  caaba;
k. baabcaababbab;
l.  caabacaababbabbaab.

89. (22) [117] {00, 01, 10, 11}.

91. (24.) [119.] {000,  001,  010,  011,  100,  101,  110,  111}.

92. (25.) [120.] {000,  001,  010,  011,  100,  101,  110,  111, 00, 01, 10, 11, 0,  1,  l }

[J] sida 76 (90 - 91) [205]

2. (2.) [9.] 1 + 2 + 8 + 16 = 27;

3. (3.) [10.] 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 128 = 219;

5. (5.) [12.] 2⁸ - 1 = 255;

6. (6.) [13.] 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 1024 + 2048 = 3547;

8. (8.) [15.]

61 30 15 7 3 1

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

2 2 2 2 2 2

= = = = = =

30 15 7 3 1 0

rest rest rest rest rest rest

1 0 1 1 1 1

så svaret är 111101.

9. (9.) [16.]

223 111 55 27 13 6 3 1

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

2 2 2 2 2 2 2 2

= = = = = = = =

111 55 27 13 6 3 1 0

rest rest rest rest rest rest rest rest

1 1 1 1 1 0 1 1

så svaret är 11011111.

11. (11.) [18.] 1024=10000000000.

12. (12.) [19.] 11000000110100.

14. (14.) [21.] 101000.

15. (15.) [22.] 1100011.

17. (17.) [24.] 1000100010.

18. (18.) [25.] 100010100.

20. (20.) [27.] 1E9₁₆ = 9+14x16+1x256 = 489.

21. (21.) [28.] 15996

23. (23.) [30.] 8349
24. (24.) [31.] 307322
25. (25.) [32.] T.ex. 12340= 0011 0000 0011 0100 = 3038₁₆.
26. (26.) [33.]
1001 = 9₁₆
11011 = 0001 1011 = 1B₁₆
1101 1011 = DB₁₆
100000 = 0010 0000 = 20₁₆
1111 1111 = FF₁₆
1101 1101 1011 = DDB₁₆

27. (27.) [34.]
3A = 0011 1010 = 111010
1E9 =  0001 1110 1001 = 111101001
A03 = 1010 0000 0011

28. (28.) [35.] FE₁₆

29. (29.) [36.] 903₁₆

30. (30.) [37.] 565D₁₆

32. (32.) [39.] 130FF7₁₆

34. (34.) [41.] ja, ja, ja.

36. (36.) [43.] 3 + 4x8 + 6x64 + 7x512 = 4003

37. (37.) [44.] 4041

39. (39.) [46.] 519

40. (40.) [47.] 179889

42. (42.) [49.]
1001 = 001 001 = 11₈
11011 = 011 011 = 33₈
11011011 = 011 011 011 = 333₈
100 000 = 40₈
11111111= 011 111 111 = 377₈
110 111 011 011 = 6733₈

43. (43.) [50.]
3A₁₆ = 0011 1010₂ = 111 010₂ = 72₈
1E9₁₆ = 0001 1110 1001₂ = 111 101 001₂ = 751₈
3E7C₁₆ = 0011 1110 0111 1100₂ = 011 111 001 111 100₂ = 37174₈
A03 ₁₆ = 1010 0000 0011₂ = 101 000 000 011₂ = 5003 ₈
209D ₁₆ = 0010 0000 1001 1101₂ =  010 000 010 011 101 ₂ = 20235₈
4B07A₁₆ = 0100 1011 0000 0111 1010₂ =  001 001 011 000 001 111 010₂ = 1130172₈

45. (45.) [52] ja;

46. (46.) [53] nej,  ja,  ja,  ja.

[J] sida 232 - 232 (265 - 266) [287]

2

a_n = a_n-1 + a_n-2 för n 3.   a₁ = 3,   a₂ = 6. (Varje tal är summan av de två föregående talen.)

23

Varje sträng börjar antingen med en etta eller ett antal nollor.
Vi studerar alla disjunkta delfall:

• Antal stränger som inte innehåller 010 och börjar med etta är S_n-1.
• Antal stränger som inte innehåller 010 och börjar med precis en nolla är antalet som börjar med 011, och det finns S_n-3 av dem. (Varför? För att efter andra ettan kan komme vilken sträng som helst av längden n-3 som innehåller 010.)
• Antal stränger som inte innehåller 010 och börjar med precis två nollor är antalet som börjar med 0011, och det finns S_n-4 av dem.
• På samma sätt får vi att antal stränger som inte innehåller 010 och som börjar med precis k nollor är S_n-k-2
  för k=1, 2, 3, ..., n-3.
• Antalet stränger som börjar med precis n-2 nollor är är 1 (bara två platser kvar som må fyllas med 11).
• Antalet stränger som börjar med precis n-1 nollor är är 1 (bara en plats kvar som må fyllas med en etta).
• Antalet stränger som börjar med precis n nollor är 1 (ingen plats kvar).

Totalt ger additionsprincipen då att S_n = S_n-1 + S_n-3 + S_n-4 + ... + S₁ + 1 + 1 + 1.

24

S_n = S_n-1 + S_n-3 + S_n-4 + ... + S₁ + 1 + 1 + 1.
S_n-1 = S_n-2 + S_n-4 + S_n-5 + ... + S₁ + 1 + 1 + 1.
Subtraktion ger S_n - S_n-1 = S_n-1 + S_n-3 - S_n-2.

Extra övningsuppgifter till Divisionsalgoritmen

1.  kvot k= 1 rest r= 5;
 

2.  kvot k= -2 rest r= 2;
 

3.  kvot k= 7 rest r= 1;
 

4.  kvot k= -8 rest r= 2;
 

5.  kvot k= 4 rest r= 0.