[L]2.2.3 Negation

Bestäm negationen av följande påståenden.

[1] Jag är längre än 2,00m
[2] Jag har brunt hår.
[3] Heltalet x är udda.
[4] Sarah är engelska och Pia är danska.

---

[L]2.3.6 Och, eller

Låt p vara påståendet "5<3", låt q vara påståendet "En vecka innehåller precis 6 dagar" och låt r vara påståendet "Alla häster är bruna". Bestäm om följande påståenden är sanna eller falska.

[a] (p och q) eller (icke r)
[b] (p eller q) och r
[c] (p eller q) och (p och r)

---

[L]2.4.2 Sanningstabeller

1. Skriv ner sanningstabeller på
[a] p och q
[b] icke p
[c] p eller q
[d] (p och q) eller r
[e] (p eller r) och (q eller r)
[2] Jämför dina svar på (d) och (e).

---

[L]2.4.5 Ekvivalenta påståenden

Skriv, med hjälp av reglarna i avsnitt 2.4.3 och definitioner av "och" och "eller", följande på så enkelt sätt som möjligt. Om ett påståendet är en tautologi, skriva att det är ekvivalent med T, en allmän tautologi. Om det är ekvivlanent med en motsägelse, skriva att det är ekvivalent med M, en allmän mötsägelse.
Kontrollera, med hjälp av sanningstabeller, att dina svar är ekvivalent med de ursprungliga påståendena.

[a] (p eller q) och (q eller p)
[b] (p och q) och q
[c] (p eller q) och p
[d] (p eller q) och (p och r)
[e] ((icke p) eller p) eller q
[f] (icke p) och (p och q)
[g] ((icke p) och p) eller q

---

[L]2.5.2 Ekvivalent

Förenkla följande påståenden. Förklara vilka lagar som du använder i varje steg. Kontrollera, med hjälp av sanningstabeller, dina svar.

[a] icke(icke (p eller q) och icke q)
[b] icke(p och q) eller p
[c] icke(p eller q) och p
[d] icke((icke p och icke q) och icke r)

---

[L]2.6.4 Implikation

1. Skriv ner sanningstabeller på
[a] (icke q) (icke p)
[b] p q
[c] icke(p och icke q)
2. Jämför dina svar på a-c.

---

[L]2.8.1 För alla, det existerar

Bestäm om följande påståenden är sanna eller falska, och skriv ner deras negation.
[1] Det finns ett hetlal större än 3.
[2] Alla positiva heltal är större eller lika med 1.
[3] Alla jämna tal är delbara med 4.
[4] För varje heltal x, det finns ett heltal y så att x > y.

---

[J] Uppgift 1.4.8 (1.4.8) [1.5.14]

Bevis:

1	Anta att xy=0, x 0 och y 0.	Antagandet
2	x0 =0	Från [J] uppgift 1.4.7 (1.4.7) [1.5.13]
3	xy=x0	Båda xy och x0 är lika med 0, och är därför lika med varandra.
4	y=0	Steg 1 och 3 och satsen i uppgiften.

---

[J] Uppgift 1.6.9 (1.6.9) [1.7.9]

Ledtråd

• Induktionsbas. Sätt i n=1.

  VL

  =

  1 22 - 1

  HL

  =

  3 4

  -

  1 2(1+1)

  -

  1 2(1+2)

  =

  3 4

  -

  1 4

  -

  1 6

  =

  18 24

  -

  6 24

  -

  4 24

  =

  8 24

  =

  1 3

• Induktionssteg
  • Anta att påståendet är sant för n=1,2,...,k. För n=k har vi så att

    1 22-1

    +

    1 32-1

    +

    ...

    +

    1 (k+1)2-1

    =

    3 4

    -

    1 2(k+1)

    -

    1 2(k+2)

    gäller.

  • Visa nu att påståendet är sant för n=k+1, dvs visa att

    1 22-1

    +

    1 32-1

    +

    ...

    +

    1 (k+1)2-1

    +

    1 (k+1+1)2-1

    =

    3 4

    -

    1 2(k+1+1)

    -

    1 2(k+1+2)

    gäller.

    Betrakta:

    1 22-1	+	1 32-1	+	...	+	1 (k+1)2-1	+	1 (k+1+1)2-1	=	3 4	-	1 2(k+1)	-	1 2(k+2)	+	1 (k+2)2-1
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	1 2(k+1)	+	1 k2+4k+3
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	1 2(k+1)	+	1 (k+1)(k+3)
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	k+3 2(k+1)(k+3)	+	2 2(k+1)(k+3)
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	k+3-2 2(k+1)(k+3)
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	k+1 2(k+1)(k+3)
    									=	3 4	-	1 2(k+2)	-	1 2(k+3)
    									=	3 4	-	1 2(k+1+1)	-	1 2(k+1+2)

• Slutsats

---

[J] Uppgift 1.6.19 (1.6.19) [1.7.22]

Ledtråd

• Induktionsbas. Sätt i n=1. 11¹ - 6 = 5 är delbart med 5.
• Induktionssteg
  • Anta att påståendet är sant för n=1,2,...,k. Så har vi t.ex. för n=k att 11^k - 6 är delbart med 5.
    Vi kan skriva 11^k - 6 = 5s för något heltal s.
  • Betrakta 11^k+1 - 1.
    11^k+1 - 1 = 11 11^k - 1 = 11(11^k - 1) + 11 - 1 =11(5s) + 10=5(11s + 2), som är delbart med 5.
• Slutsats

---

Uppgifter från [J]5.2 (5.2) [7.2]

---

3 (3) [3]

Icke linjärt homogen med konstanta koefficienter eftersom koefficienten framför a_n-1 är 2n som inte är konstant.

6 (6) [6]

Icke linjärt homogen med konstanta koefficienter ty det finns termen 1.

16 (15) [16]

• Lös t² - 7t + 10 = 0. Rötterna är t = 2 och t = 5.
• Så a_n=A2ⁿ+B5ⁿ, konstanter A och B.
• Bestäm, med hjälp av startvillkoren, A och B. A = 3 och B = 2.
• Lösningen är a_n=32 ⁿ + 25ⁿ.

20 (19) [20]

• Lös t² - 6t + 9 = 0. Rötterna är t = -3 (två gånger)
• Så a_n=3ⁿ(A+Bn), konstanter A och B.
• Bestäm, med hjälp av startvillkoren, A och B.
  För n = 0: 1 = A, och
  för n=1: 1=3(A+B)=3(1+B) så B=-2/3.
• Lösningen är a_n = 3ⁿ(1 - (2n/3) ) = 3ⁿ - 2n3^{n - 1}.

22 (21) [22]

• Lös 9t² - 6t + 1=0. Rötterna är t=1/3 (två gånger)
• Så a_n=(1/3)ⁿ(A+Bn), konstanter A och B.
• Bestäm, med hjälp av startvillkoren, A och B.
  För n=0: 6=A, och
  för n=1: 5=(1/3)(6+B)=2+(B/3), så B=9.
• Lösningen är a_n=(1/3)ⁿ(6 + 9n)