Homomorfier och faktorgrupper

Referenser

[F] Edition 7: Del III: avsnitt 13, 14, 15.

1. Kontrollfrågor om brev 3

Innan du börjar med Del III blir det bra att kontrollera att du kan allt du läst i Del II. Kontrollera även att du har inte glömt några satser och definitioner från Del I. Glöm inte att uppdatera din lista av grupper.

  1. Vad är en permutation?
  2. Vad är S_n?
  3. Hur många element finns i S_n?
  4. Vad är D₃? D₄?
  5. Vad är en bana?
  6. Hur kan man skriva en permutation?
  7. Hur många jämna/udda permutationer existerar?
  8. Vad är en transposition?
  9. Vad är A₄?
10. Vad är en sidoklass?
11. Vad är Lagranges sats och vilket resultat hänvisar det till?
12. Hur bevisar man Lagranges sats?
13. När är Z_m x Z_n och Z_mn isomorfa?
14. Vad är ordning av (a, b, c) i Z_m x Z_n x Z_l?
15. Vad är en ekvivalensrelation? En partition?
16. Vad säger Cayleys sats? Hur bevisar man den?

2. Läsanvisningar till Del III i [F]

13 Homomorphisms Struture Relating Maps
14 Factor Groups
15 Factor-Group Computations and Simple Groups
16 - 17 Ingår ej i kursen

Isomorfier är en typ av speciella funktioner som kallas för homomorfier. Homomorfier presenteras i denna del. Du har sett exempel på homorfier förut t.ex. linjära avbildningar på vektorrum.

I Del III, lär vi oss mer om sidoklasser som tillsammans med homomorfier hjälper oss att konstruera nya grupper, som kallas för faktorgrupper. Det är viktigt att repetera sidoklasser ordentligt.

Avsnitt 13

Structure-Relating Maps

Kom du ihåg följande definition?
En avbildning T : Rⁿ -> R^m är linjär om
(i) T(u+v)=T(u)+T(v) för alla u,v Rⁿ,
(ii) T(kv)=kT(v) för alla u,v Rⁿ och reella tal k.

Tänka 13A

Del (i) är ganska likt definition 13.1. Det betyder att varje linjär avbildning är en homomorfi men är varje homomorfi från Rⁿ till R^m en linjär avbildning, dvs har (ii) något betydelse? Det gäller att t ex T(2v)=T(v+v)=T(v)+T(v)=2T(v) och så vidare så varför har vi både villkoren? Existerar det ett exempel på en homomorfi från Rⁿ till R^m som inte är en linjär avbildning?

Sida 125: Läs genom definition 13.1, och prova följande exempel:

Kontrollfråga 13B

Låt : <G₁, *₁> <G₂, *₂ > vara en homomorfi. Skriv, med hjälp av denna notation, ner definitionen av homomorfi.

Vi ser i exempel 13.2 att en av struktur som konserveras av homorfier är den abelska strukturen.

Tänka 13C

• Vilka strukturer hos en grupp tror du konserveras av en homomorfi,
  dvs, låt :G G' vara en homomorf. Vilka egenskaper har både G och G'? Skriv ner en lista.

• Om är en homomorfi från G till G', vad kan du säga om (e), där e är G:s identitetselement, och (a^-1)?

Tänka 13D

I exempel 13.2, ser vi att om är en homomorfi från G till G', och G är abelsk så är G' öckså det, men är G abelsk om G' är det?

Tänka 13E

I exempel 13.3 får vi en homomorfi från S_n till Z₂. Betrakta mängderna A_n och B_n av element som avbildas på 0 resp. 1. Observera att de är sidoklasser till S_n. Jämför följande tabell med Z₂. Vilken mängd, A_n eller B_n, fungerar som identitetselement?

Ê	(1)(2)(3)	(123)	(132)	(12)(3)	(13)(2)	(1)(23)
(1)(2)(3)	(1)(2)(3)	(123)	(132)	(12)(3)	(13)(2)	(1)(23)
(123)	(123)	(132)	(1)(2)(3)	(13)(2)	(1)(23)	(12)(3)
(132)	(132)	(1)(2)(3)	(123)	(1)(23)	(12)(3)	(13)(2)
(12)(3)	(12)(3)	(1)(23)	(13)(2)	(1)(2)(3)	(132)	(123)
(13)(2)	(13)(2)	(12)(3)	(1)(23)	(123)	(1)(2)(3)	(132)
(1)(23)	(1)(23)	(13)(2)	(12)(3)	(132)	(123)	(1)(2)(3)

Tabellen ger inte gruppen Z₂ men en grupp som är isomorf med den. Denna grupp kallas för faktorgruppen av S_n modulo A_n och betecknas S_n/A_n. (OBS! A/B betecknar en faktorgrupp om A är en grupp och B är en sidoklass till A men A\B betyder mängden A utan element i A B.)

Exempel 13.4 är mycket viktigt. Varför? (Se nedanstående övning)

Övning 13F

Visa att mängden A av alla polynom som har heltalskoefficienter är en grupp under addition.
Vad är identitetselement? Är det x-3? Nej? OK, så blir det inte bra om vi skriver x-3=0.

Istället för rötter till en ekvation pratar vi om nollställen till ett polynom. Om vi vill veta vad nollställena är, så använder vi evalueringshomomorfien: för vilka/et a gäller _a(x-3) = 0? I detta fall är det naturligvis a=3. Vi studerar polynom i detalj i del VI.

Properties of Homomorphisms

Kontrollera att du förstår definition 13.11.

Kontrollfråga 13G

Låt vara en avbildning av R till R (R=mängden av reella tal) definieras av (n)=n².
(i) Bestäm [{1,2,3}].
(ii) Bestäm [R].
(iii) Bestäm ^-1[[{1,2,3}]].


Nu kan du kontrollera några av dina svar på Tänka 13C. Vi ser från sats 13.12 att identitetselement avbildas till identitetselement, inverselement avbildas på inverselement, och delgrupper avbildas på delgrupper.

Ett viktig begrepp är kärnan. I linjär algebra har du lärt dig att kärnan av en matris A är mängden av alla x sådana att Ax=0. Vad betyder det? Om vi betraktar A som en linjär avbildning är kärnan mängden av element som avbildas på 0. Det är precis samma sak här, kärnan av en homomorfi :G -> G' är mängden av alla element som avbildas på e'.



På vilket element avbildas b där b aKer()? Eftersom b aKer() kan b skrivas som ah för något element h Ker(). Nu gäller

Detta betyder att varje element i aKer() avbildas på (a). (Se Figur 13.14, s130)

13.15 Theorem

Observera att kärnan av en homomorfi är en delgrupp där vänster och höger sidoklasser är lika, dvs om H = Ker() så gäller aH = Ha. Det betyder att kärnan är en sk normal delgrupp (se definition 13.19, s132). Vi kommer att se att varje normal delgrupp är kärnan till någon homomorfi. Varför bryr vi oss om normala delgrupper? I kontrollfråga 8C (brev 3), och avsnitt 10 såg vi att det inte alltid är så att vänster och höger sidoklasserna är lika. När de är lika kan man skapa en ny grupp genom att ta sidoklasserna som element. Så, om vi har en normal delgrupp, har vi möjlighet att skapa en ny grupp. Vi bestämmer ekvivalenta villkor till villkoren i definitionen av normal delgrupp (s. 132) i avsnitt 14 (s. 141).

Övning 13H

13.52 sida 135

13.18 Corollary

Jmf Corollary 13.18 med linjära avbildningar. I avsnitt 3 hade vi ett sätt att kontrollera om en funktion är en isomorfi. Nu har vi ett annat sätt.

Avsnitt 3	Avsnitt 13
(xy) = (x)(y)	är en homomorfi
är en injektion	Ker() = {e}
är en surjektion	är en surjektion

Övningar på avsnitt 13

Gör några övningar på avsnitt 13. För förslag, se nedan.

Avsnitt 14

Factor Groups from homomorphisms

I Tänka 13E fick vi en grupp genom att dela S_n i sidoklasser, och betrakta sidoklasserna som element i den nya gruppen. Detta avsnitt handlar om när sidoklasserna ger en sk faktorgrupp och deras relation med homomorfier. Vi ser att varje normal delgrupp är kärnan till en homomorfi och ger en faktorgrupp.

Gör följande övning för att hjälpa dig att förstå sats 14.1.

Kontrollfråga 14A

Betrakta : Z -> Z₆ där (a) = resten när a divideras med 6, 0 a < 6.
1. Bestäm H = Ker().
2. Vad är de vänstra och högra sidoklasserna till H? Är de lika?
3. Hur adderar man två sidoklasser?
4. Bestäm faktorgruppen Z/H som i sats 3.2.1. Vad är elementen i faktorgruppen?
5. Bestäm avbildningen : Z/H -> Z₆ så att är en isomorfi.

Factor Groups from Normal Subgroups

Nu har vi sett att man kan konstruera en faktorgrupp med hjälp av en homomorfi, men homomorfin behövs inte! För att få en faktorgrupp måste sidoklassmultiplikation vara väl definierad, och det händer när vänster och höger sidoklasser är lika (se sats 14.4). Corollary 14.5 visar att om vänster och höger sidoklasser av en delgrupp H är lika, då kan man konstruera en faktorgrupp. Det betyder att H är en normal delgrupp.

14.4 Theorem

Detta sats visar att vi inte behöver en homomorfi för att bestämma produkten av sidoklasser. Kontrollera varje steg i beviset. De vänstra och högra sidoklasserna är lika. Varför måste man använda h₃ och inte bara skriva a(h₁b)h₂ = a(bh₁)h₂?

Fundamental Homomorphism Theorem

Fundamentala homomorfisatsen är mycket viktig inom abstrakt algebra. Du ska kunna den och dess bevis. Vad säger det? Att alla möjliga homomorfier från en grupp ges precis av de olika möjliga faktorgrupperna G/H där H är en normal delgrupp till G och Ker().

Kontrollfråga 14B

Titta på exempel 14.12.
Lista elementen i Z₄ × Z₂.
Lista sidoklasserna till {0} × Z₂.
Bestäm en homomorfi från Z₄ × Z₂ till (Z₄ × Z₂) / ({0} × Z₂).
Bestäm en isomorfi från (Z₄ × Z₂) / ({0} × Z₂) till Z₄.

Kontrollfråga 14C

Hur ser ett element i en faktorgrupp ut?
14.21, 14.22

Normal Subgroups and Inner Automorphisms

Kontrollera att du förstår varför de tre villkoren på sida 141 är ekvivalent med definition av en normal delgrupp.

Övningar på avsnitt 14

Gör några övningar på avsnitt 14. För förslag, se nedan.

Avsnitt 15 (ej delavsnittet om Simple Groups s. 148 - 151)

Mer exempel på faktorgrupper. Det är nyttigt att arbeta genom dem, speciellt exempel 15.6, och sats 15.9.

3. Övningar Del III

Jag föreslår att du försoker göra alla övningar markerad med * först. Kontakta mig om du går bet på någon övning.

Avsnitt	Problem
13	1*, 3, 5, 17*, 19, 25, 26, 27, 32, 51*, 52
14	1*, 2, 3, 4, 5, 9*, 11, 21, 22, 23, 24*

4. Inlämningsuppgift (tisdag v. 41)

[F] Avsnitt 13: Övning 51;

[F] Avsnitt 14: Övning 24.