Ringar och Kroppar B

Referenser

[F] Edition 7: Del IV: avsnitt 22, 23, 24.

1. Kontrollfrågor om brev 5

Innan du börjar med resten av Del IV blir det bra att kontrollera att du kan allt du läst i avsnitt 18 - 21. Kontrollera även att du har inte glömt några satser och definitioner från Del I - III.

1. Vad är en ring?
2. Vad är en ringhomomorfi?
3. Vad är evalueringshomomorfi?
4. Vad är en kommutativ ring? En ring med etta? En kropp? En skevkropp? En divisionsring? Ett integritetsområde?
5. Vad är en nolldelare?
6. Ge strykningsregler (cancellation rules) i en ring.
7. Vad är sambanden mellan kroppar och integritetsområden?
8. Vad kan du om _p?
9. Vad är karakteristiken av en ring?
10. Vad är sambandet mellan _n och / n?
11. Beskriv strukturen hos mängden av enheter i R med R:s multiplikativa binära operation där R är
    • en ring;
    • en kropp;
    • _p , där p är ett primtal.
12. Vad är Eulers fi-funktion?
13. Vad säger Fermats lilla sats? Vad är sambandet mellan den och mängden av enheter i _p?
14. Vad säger Eulers sats?
15. Ge alla lösningar till ax b (mod n).

2. Läsanvisningar till Del IV i [F]

18 Rings and Fields (se brev 5)
19 Integral Domains (se brev 5)
20 Fermat's and Euler's Theorems (se brev 5)
21 The Field of Quotients of an Integral Domain (se brev 5)
22 Rings of Polynomials
23 Factorization of Polynomials over a Field
24 Noncommutative Examples, Quaternions s 224-226

Nu kommer vi till polynom. Observera att vi pratar om indeterminate (obestämd symbol? Vi har ingen bra översättning just nu) istället för variabel och nollställe till ett polynom istället för rot till en ekvation. Vi börjar att arbeta för att kunna besvara frågan: Låt f(x) vara ett polynom över en ring R. Det betyder att dess koefficienter ligger i R. Finns det en kropp F så att R är en delring till F och ett element a i F så att f(a) = 0? Svaret kommer i Del VI (avsnitt 29, Theorem 29.3).

22 Rings of Polynomials

Polynomials in an Indeterminate

Betrakta beviset för Theorem 22.2. I det står, "That < R[x], +> is an abelian group is apparent." Stämmer det?

Observera att F[x] betecknar ringen av polynom över F, men F(x) är kroppen av kvoter av element ur F[x].

The Evaluation Homomorphisms

Nu börjar vi att arbeta med evalueringshomomorfier. Theorem 22.4 är viktig. Kontrollera att du förstår exempel 22.6-22.9.

The New Approach

Observera definitionen 22.10 av nollställe. Vi skriver inte "bestäm x så att x²+x = 0 " men istället "bestäm a så att
_a(x²+x) = 0 "

Kontrollfråga 22A

Skriv ner alla element av ordning 2 eller mindre i ringen ₂[x]. Vilka har ingen nollställe i ₂? De kallas för irreducibla polynom för att de inte kan skrivas som produkt av polynom av mindre ordning. De är polynomens "primtal".

Övningar på avsnitt 22

Gör några övningar på avsnitt 22. För förslag, se nedan.

23 Factorization of Polynomials over a Field

I detta avsnitt se vi att vi kan dividera polynom med en divisionsalgoritm, faktorisera dem och bestämma "primtal" precis som för heltal. "Primtal" i polynomens värld kallas för irreducibla polynom.

The Division Algorithm in F[x]

Theorem 5.6.1 (5.18) bör jämföras med 1.5.3 Division Algorithm for på sidan 76 (71). Försök att forklara hur beviset av Theorem 5.6.1 fungerar.

Irreducible Polynomials

Observera att både 2x ² + 2 och x ² + 1 är irreducibla polynom över , och reducibla över .

Theorem 23.1 och 23.11 använder vi mycket. Observera att Theorem 23.11 säger att en polynom med heltalskoefficienter är reducibelt över om och endast om det är irreducibelt över .

Corollary 23.12 brukar vi använda på följande form:

Sats 23.12'

Låt p_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1^n-1 + ... + a₁x + a₀ vara ett polynom över , dvs med heltalskoefficienter, där n 1. Låt r och s vara relativt prima heltal.

Om

r s

är ett nollställe till pn(x) då gäller r | a0 och s | an.

Övning 23A

Försök att bevisa sats 23.12' genom att betrakta p_n(r/s) = 0.

Övning 23B

Är x³ + x² + x + 4 irreducibelt över ?

Einsteins kriterium 23.15

Einsteins kriterium kan vara användbart ibland men oftast uppfyller polynom inte villkorena.

Uniqueness of Factorization in F[x]

Kontrollfråga 23C

Du borde nästan känna igen Theorem 23.20. Vad är den ekvivalenta satsen om heltal? På vilka sätt är deras bevis lika och olika?

Övningar på avsnitt 23

Gör några övningar på avsnitt 23. För förslag, se nedan.

24 Noncommutative Examples, endast s224-226

Läs stycket om kvaternioner. Du ska kunna räkning med kvaternioner för att de är det enda exempel du har på en skevkropp i denna kurs. Observera att varje skevkropp är oändlig (Wedderburn's theorem 24.10)

Övningar på avsnitt 24

Gör några övningar på avsnitt 24. För förslag, se nedan.

3. Övningar Del IV.B

Jag föreslår att du försoker göra alla övningar markerad med * först. Kontakta mig om du går bet på någon övning.

Avsnitt	Problem
22	5, 9, 11, 17, 20, 21, 23, 24;
23	1, 9, 13*, 14, 16*, 17*, 25, 26, 27, 28, 29;
24	4, 5, 6, 7.

4. Inlämningsuppgift (tisdag v. 45)

[F] Avsnitt 22: Övning 17.

[F] Avsnitt 23: Övningar 13, 17.