Faktorisering

Referenser

[F] Edition 7: Del IX: avsnitt 45, 46, 47.

1. Kontrollfrågor om brev 7

Innan du börjar med Del IX blir det bra att kontrollera att du kan allt du läst i Del V. Kontrollera även att du har inte glömt några satser och definitioner från Del I - IV.

Låt : R -> R' vara en ringhomomorfi.

1. Vilka egenskaper har en ring homomorfi? Vilka element bildas till varandra? (Kom ihåg ideal!)
2. Ge ett exempel som visar att ettan i R avbildas på ettan i ( R ) och ej på ettan i R'.
3. Vilka element innehåller kärnan till en homomorfi om är en injektion?
4. Vad är en ringisomorfi?
5. Varför är inget par av , , , och isomorfa?
6. Hur kan man definiera en binär operation på sidoklasserna till H = ker( ) så att R / H är en ring? Ge ett samband mellan R / H och [ R ].
7. När är (a + H)(b + H)=ab + H väldefinierat för en delring H?
8. Vad är ett ideal?
9. Vilka är idealen i ?
10. Om R / N är en ring, vad är R?
11. Vad säger den fundamentala homomorfisatsen?
12. Ge exempel på R och N där
R är ett integritetsområde och R / N är en kropp,
R är ett integritetsområde och R / N har nolldelare,
R har nolldelare och R / N är en kropp,
R har nolldelare och R / N är ett integritetsområde.
13. Vilka ideal innehåller en kropp?
14. Låt R vara en ring med etta. Beskriv ett ideal i R som innehåller ett element med en multiplikativ invers.
15. Definiera ett maximalt ideal.
16. Om M är ett maximalt ideal, vad är R / M?
17. Antag att R saknar icke-triviala ideal. Vad är R?
18. Ge villkor på R och N så att R / N är ett integritetsområde.
19. Vad är ett primideal?
20. Vad är sambandet mellan primideal och integritetsområden?
21. Ge några samband mellan primideal, integritetsområden, kroppar och maximala ideal.
22. Vad är en primkropp?
23. Ge några samband mellan karakteristik, delringar, kroppar, _n, och .
24. Vad är ett principalt ideal?
25. Ge några samband mellan en kropp F, F[ x ] och ideal?
27. Ge ett samband mellan < p ( x ) > i F[ x ] och p( x ) över F?

2. Läsanvisningar till Del IX i [F]

45 Unique Factorization Domains - endast några definitioner
46 Euclidean Domains - endast några definitioner
47 Gaussian Integers and Norms

I avsnitt 47 finns det exempel på integritetsområden där man kan skriva ett tal som produkten av "irreducibler" på olika sätt. (Jmf heltal med entydig faktorisering som en produkt av primtal.)

45 Unique Factorization

Från detta avsnitt behöver du bara lära dig definitioner av faktor (45.1), dela (45.1), enhet, associerade (45.2), irreducibel (45.4) och UFD (45.5).

46 Euclidean Domains

Från detta avsnitt behöver du bara lära dig definitionerna av euklidisk valuering (Euclidean norm) (definition 46.1), och euklidiskt område (text efter definition 46.1). Läs också exempel 46.2 och 46.3.

47 Gaussian Integers and Norms

[ i ] är ett exempel på en euklidiskt område. Du ska kunna visa om ett element i [ i ] är irreducibelt eller kan faktoriseras.

Exempel

Är (a) 3;   (b) 3 + 2i;   (c) 1 + 5i;   (d) 13;   irreducibel i [ i ]?


Funktionen N: [ i ] -> N definierad av N( a + ib ) = a² + b² är en multiplikativ norm. Funktionen v() = N( ) för 0 är en euklidisk valuering på [ i ]. Vad är enheterna i [ i ]? 1, -1, i och -i, som ger alla lösningar till a² + b² = 1.
enheterna i [ i ] är precis de element i [ i ] så att N( ) = N(1) = 1
varje element så att N () = p, p primtal, är irreducibelt i [ i ].

(a) Betrakta 3. N( 3 ) = 3² = 9 som inte är ett primtal. Om 3 har faktor, är de på formen ( a + ib )( a - ib ) (varför?) där a² + b² = 3, och N( a + ib )| 9. Det existerar inte sådana heltal a och b. Därför är 3 en irreducibel i [ i ].

(b) Betrakta 3 + 2i. N( 3 + 2i ) = 3² + 2² = 13 som är ett primtal, och då är 3 + 2i irreducibel i [ i ].

(c) Betrakta 1 + 5i. N( 1 + 5i ) = 1² + 5² = 26 som inte är ett primtal. Antag att 1 + 5i inte är irreducibel i [ i ]. Då är ( a + ib )( c + id ) = 1 + 5i där N( a + ib ) = a² + b² är en faktor av 26. (Varför? för att N( xy ) = N( x )N( y ).) Då a² + b² = 26, 13 eller 2 (varför ej 1?). Vi börjar med att kontrollera om det finns heltal a och b så att a² + b² = 2. Prova a = b = 1. Dividera 1 + 5i med 1 + i. Vi får 3 + 2i som är i [ i]. Då är 1 + 5i inte irreducibel. (Är 1 + i irreducibel?)

Övningar på avsnitt 47

Gör några övningar på avsnitt 47. För förslag, se nedan.

3. Övningar Del IX

Jag föreslår att du försöker göra alla övningar markerad med * först. Kontakta mig om du går bet på någon övning.

Avsnitt	Problem
47	1, 2, 3, 4, 5;

4. Inlämningsuppgift (tisdag v. 48)

(a) Är 1+i irreducibel i [ i]?

(b) Är 1+7i irreducibel i [ i]?