Kroppsutvidgningar I

Referenser

[F] Edition 7: Del VI: avsnitt 29, 30, 31.

1. Kontrollfrågor om brev 8

Innan du börjar med Del VI blir det bra att kontrollera att du kan allt du läst i Del V. Kontrollera även att du har inte glömt några satser och definitioner från Del I - IV.

1. Vad är definitionen av faktor, delar, enhet, associerade, irreducibel i ett integritetsområde?
2. Vad är ett UFD?
3. Vad är en euklidisk valuering och ett euklidiskt område?
4. Ge definitionen av de Gaussiska heltalen. Vad har de för norm?
5. Vad är en multiplikativ norm?
6. Ge ett exempel på ett euklidiskt område.
7. Vilka egenskaper har den multiplikativa normen av en enhet i ett integritetsområde?
8. Ge ett samband mellan ett irreducibelt element i ett integritetsområde och dess norm.
9. Hur visar man om ett element är irreducibelt över ett integritetsområde med given norm?

2. Läsanvisningar till Del VI i [F]

29 Introduction to Extension Fields
30 Vector Spaces
31 Algebraic Extensions
32 Geometric Constructions (Brev 10)
33 Finite Fields (Brev 10)

I denna del hittar vi svaret till frågan: Låt F vara en kropp. Finns det en kropp E så att F är en delring till E och ett element a i E så att f(a)=0? E är en s.k. kroppsutvidgning av F.

Vi arbetar med begreppet kroppsutvidgning och vektorrum för att definiera en Galois kropp (avsnitt 33). Innan detta bestämmer vi vilka geometriska figurer som kan ritas med hjälp av endast passare och linjal (brev 10).

29 Introduction to Extension Fields

Observera att E är en kroppsutvidgning av F om och endast om F är en delkropp av E. Till exempel, är en kroppsutvidgning till .

Observera Kroneckers sats (Theorem 29.3) som säger att det existerar nollställe till en polynom över F i någon kropputvidgning av F. Det är en viktig sats och du börde kunna beviset.

Studera Example 29.4. Observera att inte är en delkropp till [x]/<x²+1> men den är isomorf med en.

Algebraic and transcendental Elements

Att ett tal är transcendent respektive algebraiskt betyder att det är transcendent respektive algebraiskt över . Annars säger vi transcendent respective algebraiskt över F där F är en kropp.

Exempel 29A

2 är algebraiskt över ty det är ett nollställe till x²-2.
är transcendent över men algebraiskt över ty det är ett nollställe till x-.

The Irreducible Polynomial for over F

Observera att F() är den minsta kropp som innehåller både F och .

Exempel 29B

1. (2) = {a+b2 : a, b }.
2. (2^1/3) ={ a+b2^1/3+c2^2/3: a, b, c }.
3. (2, 3) ={a+b2 +c3 : a, b, c }.
4. (2) = .

5. ()

= {

ann : an }.

Exempel 1-5 är enkla utvidgningar av (jepp, (2, 3) är en enkel utvidgning av .)

Övningar på avsnitt 29

Gör några övningar på avsnitt 29. För förslag, se nedan.

30 Vector Spaces

Observera att om E är en kroppsutvidgning av F, så är E ett vektorrum över F. (Se Example 30.4, 30.3.)

An Application to Field Theory

Theorem 30.23 visar oss hur man kan bestämma en bas för F() över F. Detta delavsnitt behöver vi i avsnitt 31.

Övningar på avsnitt 30

Gör några övningar på avsnitt 30. För förslag, se nedan.

31 Algebraic Extensions

Kontrollfråga 31A

1. Varför gäller [E:F]= 1 E = F?
2. Given [: ] = 2, bestäm en bas till över .

Komplettering till Example 31.9

Varför gäller [ (2, 3): ] = 6?

Vi vet att [ (2): ] = 2 och (2) har bas {1, 2} över .

(2, 3) är sluten under addition, för att det är en kropp, och det innehåller 2 och 3. Det betyder att (2, 3) innehåller 2 + 3. Därför är (2, 3) en kroppsutvidgning av (2 + 3) ty (2 + 3) är den minsta kroppen som innehåller både och 2 + 3. Det är också en ändlig kroppsutvidgning av (2 + 3). Det leder till att [ (2, 3) : (2 + 3)] är en delare till [ (2, 3) : ] (Se Theorem 31.4).

Nu vill vi veta om 3 (2). Om det är så, så är [ (2+ 3) : ] en delare till [ (2) : ]. Vi ser att irr(2+ 3, ) = x⁴ - 10x²+1 så deg(2+ 3, ) = 4. Det betyder att 2+ 3 (2) så 3 (2).

Varifrån kommer basen? En bas för (2) över är {1, 2} och för (2, 3) över (2) är {1, 3} En bas för (2, 3) över innehåller 1, 2, 3 och 23.

Övningar på avsnitt 31

Gör några övningar på avsnitt 31. För förslag, se nedan.

3. Övningar Del IX

Jag föreslår att du försöker göra alla övningar markerad med * först. Kontakta mig om du går bet på någon övning.

Avsnitt	Problem
29	1-4, 6-13, 17, 18, 23, 25, 29, 30
30	1, 2, 4-9, 15
31	1-13, 19, 22, 24, 29

4. Inlämningsuppgift (tisdag v. 50)

Avsnitt 29: 2

Avsnitt 31: 5, 8