Grundläggande mängdlära

Referenser

[EG]   avsnitt 2.1;
[D]      avsnitt 2.9;
[EG]   avsnitt 2.2 - 2.4;
[EG]   avsnitt 2.5 - 2.6 (ej 2.6.2);
och nedanstående text.

Nyckelord

Mängder, element, delmängder, unionsmängd, snittmängd, komplementmängd, notation för mängder, räkneregler för mängder, standardmängder, produktmängder. Kardinalitet av mängder och principen om inklusion/exklusion.

Inledning

Läs inledningen till kapitel 2 i [EG]. Målet med detta block är att lära oss de grundläggande begrepp och symboler, som används i förbindelse med mängder. Vi går igenom venndiagram och använder dessa till att illustrera diverse grundläggande mängdoperationer.

Läs nu nedanstående text och kapitel 2 i [EG], men ej delavsnitt 2.6.2.

1. Mängder

I avsnitt 2.1 i [EG] är det viktigt att förstå, att mängder ej är ordnade, dvs. man kan lista deras element i vilken ordning som helst, till exempel är

{1, 2, 5} = {1, 5, 2} = {5, 2, 1}.
Mängder har heller inga repeterade element, så till exempel

{1, 2, 5} = {1, 1, 5, 5, 5, 2}.
Glöm ej parenteserna '{' och '}', när du vill ange en mängd, till exempel är

{1, 2, 5} 1, 2, 5,
för vänstrasidan av detta uttryck är mängden bestående av elementen 1, 2 och 5, medan högrasidan är notationen för en ordnad följd bestående av elementen 1, 2 och 5 i den angivna ordningen. Lika viktigt är det att förstå, att man ej kan sätta ett godtyckligt antal parenteser, till exempel är

{1, 2, 5} {{1, 2, 5}},
för vänstrasidan av detta uttryck är mängden bestående av elementen 1, 2 och 5, medan den högrasidan är en mängd bestående av blott ett element, nämligen mängden {1, 2, 5}.

Många små mängder anges lättast genom att lista alla mängdens element, på det sätt som vi har gjort i exemplen ovan. Ofta är det dock ej möjligt att lista alla element i en mängd, antingen av hänsyn till utrymme eller för att mängden är oändligt stor. I sådana fall är det ibland möjligt att ange de första få av mängdens element och eventuellt det sista elementet, om ett sådant existerar, och så använda symbolen '...' till att indikera, att alla mellanliggande värden också är inkluderade. Till exempel kan vi använda denna notation till att ange mängden av alla udda tal mellan 1 och 20:

{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} = {1, 3, 5, ... , 19}.
Högrasidan utläses som 'mängden bestående av (elementen) 1, 3, 5 och så vidare, upp till och med 19'. Vi brukar
'...'- notationen, när det är klart från kontexten vilka element som menas. Observera att '...'- symbolen består av precis tre prickar.

Några standardmängder, som vi ofta hänvisar till, har vi av bekvämlighetsskäl reserverade symboler för. Till exempel har du i gymnasiet kanske använt (se också [EG] sidan 30):

	=	{ ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... }, mängden av alla heltal;
	=	{0, 1, 2, 3, ... }, mängden av alla naturliga tal, och
,		mängden av alla reella tal.

Vi använder symbolen till att beteckna den tomma mängden, dvs.

= { }.
Lägg märke till att här sätter man inte parenteser om symbolerna. Till exempel är { },   för här är vänstrasidan mängden av alla heltal, medan högrasidan är en mängd bestående av blott ett element, nämligen .

Mängdbyggaren

På sidan 19 i [EG] beskrivs en viktig metod för att ange mängder med hjälp av  inklusionsregler. Inklusionsreglerna beskriver karaktäristiska egenskaper hos  mängdens element, så man kan skilja mellan dessa och element som ej är  inkluderat i  mängden. Till exempel har vi

{ x | x 10 och x är ett heltal } = {10, 11, 12, 13, ... },
där vänstrasidan utläses som 'mängden bestående av de (element) x som uppfyller att x är större än eller lika med 10 och x är ett heltal'. Vi påpekar att några författare brukar symbolen ':' i stället för '|' i denna notation, så vi har att

{ x | x 10 och x är ett heltal } = { x : x 10 och x är ett heltal } = {10, 11, 12, 13, ... }.

[EG] använder absolutbeloppet till att beskriva en mängd på sidan 19. Läs avsnitt 2.9 i [D] om absolutbeloppet och lös då övning 2.19, 2.21 i [D].

Symboler och notation

En mängds kardinalitet är antalet element i mängden. Detta begrepp  införs mitt på sidan 21. Till exempel är

| | = 0
och |{1, 2, 3, 7}| = 4.

På sidan 21 införs också symbolen '''', som utläses 'tillhör'.

Exempel
Om till exempel A = {0, 1, 2, 4}, så har vi

2 A,
som utläses ''(elementet) 2 tilhör (mängden) A'';
3 A,
som utläses ''(elementet) 3 tilhör ej (mängden) A''.

Det är viktigt, att du känner till skillnaden mellan symbolerna '''' och  '' '' och '''',  som införs i definition 2.1 och exempel 2.1 i [EG]. Till exempel har vi

2 {0, 1, 2, 4},
{ 2 } {0, 1, 2, 4},
{ 2 } {0, 1, 2, 4}.
Vi har även att
{0, 1, 2, 4},
{0, 1, 2, 4},
{0, 1, 2, 4} {0, 1, 2, 4},
men märk väl, att där är en viktig skillnad på delmängder och äkta delmängder (engelska: proper subset): en mängd är ej en äkta delmäng av sig själv, så därför har vi
{0, 1, 2, 4} {0, 1, 2, 4}.

På sidan 27 införs notationen (X)  till att beteckna potensmängden av en  mängd X. Vi märker här, att eftersom
(X)  är mängden bestående av alla  delmängder av X och den tomma mängden är en delmängd av varje  mängd X, så är (X) aldrig tom.

På sidan 22 införs först de viktiga mängdoperationerna (mängdunion), (mängdsnitt), och därnäst differensen av två mängder. Dessa kan illustreras med hjälp av såkallade venndiagram, som vi beskriver nedan.

Två mängder X och Y sägs vara disjunkta, om deras snittmängd är tom, dvs. om X Y = . Till exempel är mängderna {1, 3, 5, 7, 9} och {2, 4, 6, 8, 10} disjunkta, för deras snittmängd är tom. Därimot är mängderna {1, 3, 5, 7, 9} och
{1, 2, 3, 4, 5} inte disjunkta, för deras snittmängd är inte den tomma mängden, utan {1, 3, 5}.

En samling {X₁,X₂, X₃, ... , X _n} av mängder X_i, i=1,...,n, kallas parvis disjunkta, om för alla i, j = 1,2, ... , n där i j,
X_i X _j = .

En partition av en mängd X är en samling av icke-tomma, parvis disjunkta delmängder av X, vars union är hela X.

Exempel
Låt till exempel U = {x | x är udda} och J = {x | x är jämnt }, då har vi, att S={U, J} är en partition av ,
för varje tal i är antingen jämnt eller udda, så U J = och inget heltal är både jämnt och udda, så U J = .

På sidan 21 introducerades begreppet universum (engelska: universal set). Universum kallas ofte för grundmängd på svenska. Det är viktigt att förstå, att det ofta är nödvändigt att specifiera grundmängden för att undgå tvetydiga definitioner. Betrakta till exempel mängden

{x | x<2}.
Om inte grundmängden är specificerat, är det omöjligt att se, om där menas

{x | x<2} = {0, 1},
vilket det skulle vara om grundmängden var , eller

{x | x<2} = { ... ,-2, -1, 0, 1},
vilket det skulle vara om grundmängden var , eller något helt annat. När vi anger mängder med hjälp av inklusionsregeln, specificerar vi därför alltid en grundmängd, utom när den är helt klar utifrån kontexten. I avsnitt 1 ovan betraktade vi till exempel mängden
{x | x 10 och x är ett heltal}.
Här har vi undgått tvetydigheter genom att ange inklusionsregeln ''x är ett heltal''. Tvetydigheter kunde också ha undvikits om vi hade specificerat grundmängden. Grundmängder angives oftast före ''|''- tecknet, så ovanstående mängd kan specificeras med:
{ x | x 10 },
vilket utläses 'mängden av x i (grundmängden) av alla heltal, som uppfyller att x är större än eller lika med 10'.

2. Venndiagram

Ett venndiagram är en metod att illustrera, hur mängder från samma grundmängd är relaterade till varandra. Metoden är uppkallad efter dess uppfinnare, en engelsk matematiker med namnet John Venn, som levde på 1800-talet. I ett venndiagram illustreras grundmängden G med en stor rektangel och de i problemet givna mängder illustreras som överlappande områden (som regel cirklar) inuti rektangeln G. Om vi i en uppgift har två mängder S och T, bägge i samma grundmängd G, men i övrigt inte vet någonting om hur dessa är relaterade till varandra, ser venndiagrammet således ut:

De fyra områdena i venndiagrammet svarar till, att det är precis fyra möjligheter för ett givet element x G, nämligen

1. x är i både S och T;
2. x är i S, men icke i T;
3. x är icke i S, men x är i T;
4. x är varken i S eller T.

Om vi i en uppgift har tre mängder R, S och T , alla i samma grundmängden G, men i övrigt inte vet någonting om, hur dessa är relaterade till varandra, är det 8 möjligheter (varför?) för ett givet element x G, och det generella venndiagrammet för tre mängder partitionerar därför rektangeln G i 8 områden:

3. Mängdoperationer

Mängdunion

Unionen av två mängder S och T, S T, är mängden av alla de element, som tilhör en eller båda mängderna S och T.

Exempel
Om S = {1, 2, 3} och T = {2, 3, 4}, så är S T = {1, 2, 3, 4}.
Detta kan illustreras således i ett venndiagram:

Mängdsnitt

Snittet av två mängder S och T, S T, är mängden, som består av alla de element, som är i både S och T.

Exempel
Om S = {1, 2, 3} och T = {2, 3, 4}, så är S T = {2, 3}.
Detta kan illustreras således i ett venndiagram:

Mängddifferens

Differensen av två mängder S och T,
S \ T, består av alla de element, som tillhör S, men som icke tillhör T.

Exempel
Om S = {1, 2, 3} och T = {2, 3, 4}, så är S \ T = {1}.
Detta kan illustreras således i ett venndiagram:

Observera, att generellt är S \ T T \ S.

Komplementmängd

Komplementmängden S^c av en mängd S består av alla element i grundmängden G, som inte tilhör S.
S^c kan därför beskrivas som G \ S.

Exempel
Om G = och S = { x | x > 3 eller x < -1 }, så är S^c = { -1,0,1,2,3 }.
Detta kan illustreras således i ett venndiagram:

Observera att komplementmängden till en given mängd är beroende på grundmängden, medan unionsmängd, snittmängd och differensmängd är oberoende av grundmängden.

Mängdoperationerna, som vi illustrerade med venndiagrammen ovanför, är definerade på sida 22 i [EG]. De uppfyller diverse räkneregler, varav de flesta är samlade i tabell 2.1 på sidan 22 i [EG]. Du skall lära dig alla dessa räkneregler for mängdoperationer, men du behöver dock inte kunna bevisa dem.

4. Mängder av par

På sida 28 införas produktmängden av två mängder. För två mängder X och Y gäller det att

|X x Y| = |X| |Y|.
Detta följer av att ordnade par kan listas i en matris med |X| rader och |Y| kolumner som i exempel 2.4 på sidan 28.

5. PIE principen

I avsnitt 2.4 i [EG] introduceras principen om inklusion/exklusion.
Två godtyckliga mängder X och Y från samma grundmängd G är inte nödvändigtvis disjunkta. Därför är det inte alltid lätt att beräkna kardinaliteten av en union av mängder. Det gäller att

|X Y| = |X| + |Y| - |X Y|

Bevis:
Denna formel ses lättast, om man ritar ett venndiagram för X och Y och numrerar de fyra disjunkta områden som följer:

De fyra mängder, som ingår i formeln är då
 

X Y:		områdena 1, 2 och 3;
X:		områdena 1 och 3;
Y:		områdena 2 och 3;
X Y:		området 3.

Så vänstersidan av formeln är antalet av element i områdena 1,2 och 3, medans högersidan är antalet  element i områdena 1 och 3 plus antalet element i områdena 2 och 3 minus antalet element i område 3, dvs. högersidan är också antalet element i områdena 1, 2 och 3.

Man kan utvidga resultatet ovan till tre (eller flera) mängder. Det är denna räknemetod man kallar principen om inklusion/exklusion (engelska: The Principle of Inclusion - Exclusion), och den betecknas ofta PIE.

Principen om inklusion/exklusion
Låt X, Y och Z  vara tre mängder från samma grundmängd G, som inte nödvändigtvis är parvis disjunkta.
Då gäller att

|X Y Z| = |X| + |Y| + |Z| - |X Y| - |X Z| - |Y Z| + |X Y Z|.

Bevis:
Denna formel ses också lättast, om man ritar ett venndiagram för X, Y och Z och numrerar de åtta disjunkta områden som följer:

De åtta mängder, som ingår i formeln är då

X Y Z:		områdena 1, 2, 3, 4, 5, 6 och 7;
X:		områdena 1, 4, 5 och 7;
Y:		områdena 2, 4, 6 och 7;
Z:		områdena 3, 5, 6 och 7;
X Y:		områdena 4 och 7;
X Z:		områdena 5 och 7;
Z Y:		områdena 6 och 7;
X Y Z:		området 7.

På samma sätt som i exemplet med två mängder ovan ses då, att både vänstersidan och högersidan av formeln är antalet element i områden 1, 2, 3, 4, 5, 6 och 7.
 

6. Förslag till övningsuppgifter

Övningar från [EG] kapitel 2:

2.1 - 2.4, 2.5, 2.6
2.9, 2.11, 2.15, 2.17, 2.18, 2.25;
2.28, 2.30, 2.31, 2.33 (a) - (b); 2.34, 2.35.

Week Exercise 3

Uppgift 1

1. Låt A= {a,b,c}, B= {a,b,g} och C= {f,e,d,c} vara tre mängder från samma grundmängd G= {a,b,c,d,e,f,g}.
   Avgör för vart och ett av följande uttryck om det är sant eller falskt. Motivera dina svar!
   
   1. B C= G;
   2. A B= G;
   3. G \ A = C;
   4. G \ B C;
   5. G \ B C;
   6. {a,b,b} A;
   7. {a,b,{g}} =B;
   8. {{b}} B;
   9. {{b}} B;
   10. {{b}} (B).
       
       
2. Ange följande mängder genom att lista elementen. Använd ... - symbolen om det behövs.
   
   1. S ₁ = {x | x ² - 4 = 0};
   2. S ₂ = {x | x= 3n, n };
   3. S ₃ = {x | x ² + 4= 0};
   4. S ₄ = {x | x ² - 4 = 0}.
      
      
3. Ange följande mängder med hjälp av mängdbyggaren och inklusionsregler.
   1. {-7,7,-8,8,-9,9,-10,10};
   2. {0,-2,2,-4,4,-6,6,-8,8, ...};
   3. {1,2,4,8,16,32,64,128, ...}.

Uppgift 2

Låt mängden X vara det färgade området i följande venndiagram.
           
Ange X m.h.a. mängdoperationer på A, B och C.

Uppgift 3

1. I en dansskola finns 500 elever, där hälften är pojkar och hälften flickor. Det skall väljas ut ett par för att representera dansskolan i en tävling. Hur många olika par har läraren att välja på, om ett par skall bestå av en flicka och en pojke?
   
   
2. Dansskolan undervisar bl. a. i vals, rumba och tango, och 50 elever lär sig alla tre. 200 elever lär sig tango, 130 lär sig rumba och 280 lär sig vals. 100 av tangoeleverna och 80 av rumbaeleverna dansar också vals. 80 rumbaelever dansar också tango.
   
   
   1. Hur många elever dansar varken vals, rumba eller tango?
   2. Hur många elever dansar tango men inte vals och rumba?
   3. Hur många elever lär sig precis två av de tre danserna?
   
   
   
   

   This is the 2nd Edition of the study guide for Block 3 of Discrete Mathematics for the Vocational Study Programme in Information Technology, written by Pia Heidtmann in 2006. The study guide may be printed for personal use by anybody with an interest.
   
   This study guide and any parts of it and any previous and future versions of it must not be copied or disseminated in any printed or electronic form or stored on any publicly accessible website other than http://www.tfm.miun.se/~piahei/dmy/res/ without permission from the author.
   
   The author welcomes comments and corrections via email. All contributions incorporated in updates of the manuscript will be acknowledged.
   

   © Pia Heidtmann
   MID SWEDEN UNIVERSITY
   Department of Engineering, Physics and Mathematics
   Mid Sweden University
   S-851 70 SUNDSVALL
   Sweden
   

   Updated 080110