Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner

Kryssprodukt av två vektorer - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

För att beräkna kryssprodukten mellan två vektorer behöver vi (precis som för skalärprodukten) vinkeln mellan de två vektorerna. Det gäller som tidigare att vinkeln q mellan två vektorer alltid är 0° £ q £ 180° Vi vet även sedan tidigare hur man beräknar normen av vektorer.

Nu är vi redo för definitionen av kryssprodukten. Till skillnad från skalärprodukten är resultatet en vektor, så vi måste definiera både dess storlek och dess riktning. Om vi har två vektorer u och v med mellanliggande vinkel q , så definieras storleken så här: |u´ v| = |u|× |v|× sinq . (Detta utläses "u kryss v". På engelska kallas det "cross product" eller "vector product". Den senare benämningen beskriver också att resultatet är en vektor och inte en skalär.) Riktningen definieras så att den skall vara vinkelrät mot både u och v enligt "högerhandsregeln" (dvs det håll som en skruv rör sig om u vrids kortaste vägen mot v).

Man kan också härleda ett sätt att beräkna kryssprodukten med hjälp av vektorernas komponenter. Det görs i läroboken och tas inte upp här. Uttrycket blir ganska långt, och bidrar inte till förståelsen i början.

Här nedan ser du ett exempel på kryssprodukt. Vektorerna kallas som ovan u och v, och är betecknade med en röd respektive blå pil. Kryssprodukten w = u´ v är betecknad med en grön pil.
///////////////////////////////////// // Rotatable coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for coordinate system // Sphere that contains the coordinate system // Z-axis // XY-plane // XY-circle // X-axis // YZ-plane // XZ-plane // Y-axis ///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // .Origin for .X-.Y-coordinate system // .X-axis // .Y-axis // .Z-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // X- and Y-coordinates in fixed system // Z-coordinates in fixed system // Coordinates in rotatable system // XY-points in rotatable system // Points in rotatable system // Cross product // Not in use ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Du kan nu förändra vektorerna u och v med musen. Du ser då hur kryssprodukten hänger med och förändras. Flytta nu runt vektorerna, och se till att du får en bild av vad skalärprodukten innebär.

Notera att kryssproduktens storlek (|u|× |v|× sinq ) är precis arean av den parallellogram som vektorerna u och v spänner upp, och som är grå i figuren. Använd vanlig trigonometri för att övertyga dig om att det är så. Notera också hur w alltid är vinkelrät mot både u och v enligt "högerhandsregeln". Vrid på det vänstra koordinatsystemet för att se det ur olika vinklar.

Notera även att om den mellanliggande vinkeln q är = 0° , så blir kryssproduktens storlek 0. När mellanliggande vinkel är 0° brukar man säga att vektorerna är parallella. Vi har nu hittat ett test av parallellitet.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna kryssprodukten för dem, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför detta både genom att räkna med komponenter (som det beskrivs i läroboken), och genom att mäta pilar och vinklar.

Tillbaka till Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-08