Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner

Kryssprodukt av två vektorer - kort version
(Det finns också en längre version om du vill ha mer förklaringar eller bakgrund.)

Till skillnad från skalärprodukten är resultatet av kryssprodukten en vektor, så vi måste definiera både dess storlek och dess riktning. Om vi har två vektorer u och v med mellanliggande vinkel q , så definieras storleken så här: |u´ v| = |u|× |v|× sinq . (Detta utläses "u kryss v". På engelska kallas det "cross product" eller "vector product". Den senare benämningen beskriver också att resultatet är en vektor och inte en skalär.) Riktningen definieras så att den skall vara vinkelrät mot både u och v enligt "högerhandsregeln" (dvs det håll som en skruv rör sig om u vrids kortaste vägen mot v).

Här nedan ser du ett exempel på kryssprodukt. Vektorerna kallas som ovan u och v, och är betecknade med en röd respektive blå pil. Kryssprodukten w = u´ v är betecknad med en grön pil.
///////////////////////////////////// // Rotatable coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for coordinate system // Sphere that contains the coordinate system // Z-axis // XY-plane // XY-circle // X-axis // YZ-plane // XZ-plane // Y-axis ///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // .Origin for .X-.Y-coordinate system // .X-axis // .Y-axis // .Z-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // X- and Y-coordinates in fixed system // Z-coordinates in fixed system // Coordinates in rotatable system // XY-points in rotatable system // Points in rotatable system // Cross product // Not in use ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Du kan nu förändra vektorerna u och v med musen. Du ser då hur kryssprodukten hänger med och förändras.

Notera att kryssproduktens storlek (|u|× |v|× sinq ) är precis arean av den parallellogram som vektorerna u och v spänner upp, och som är grå i figuren. Använd vanlig trigonometri för att övertyga dig om att det är så. Notera också hur w alltid är vinkelrät mot både u och v enligt "högerhandsregeln". Vrid på det vänstra koordinatsystemet för att se det ur olika vinklar.

Notera även att om den mellanliggande vinkeln q är = 0° , så blir kryssproduktens storlek 0. När mellanliggande vinkel är 0° brukar man säga att vektorerna är parallella. Vi har nu hittat ett test av parallellitet.

Tillbaka till Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner - kort version.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-08