Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner

Skalär trippelprodukt - kort version
(Det finns också en längre version om du vill ha mer förklaringar eller bakgrund.)

Den skalära trippelprodukten är egentligen inget nytt sätt att multiplicera vektorer. Det är faktiskt bara en kombination av skalär- och kryssprodukten. Som hörs på namnet är resultatet av den skalära trippelprodukten en skalär, dvs ett vanligt tal.

Om vi har tre vektorer u, v och w, så definieras den skalära trippelprodukten så här: u· (v´ w).

Här nedan ser du ett exempel på skalär trippelprodukt. Vektorerna kallas som ovan u, v och w, och är betecknade med en röd, blå respektive grön pil. På tallinjen undertill i figuren är skalärprodukten markerad med s, och utritad med en lila punkt och ett lila streck.
///////////////////////////////////// // Rotatable coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for coordinate system // Sphere that contains the coordinate system // Z-axis // XY-plane // XY-circle // X-axis // YZ-plane // XZ-plane // Y-axis ///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // .Origin for .X-.Y-coordinate system // .X-axis // .Y-axis // .Z-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // X- and Y-coordinates in fixed system // Z-coordinates in fixed system // Coordinates in rotatable system // XY-points in rotatable system // Points in rotatable system // Parallelepiped // UxV // (UxV).W // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Du kan nu förändra vektorerna u, v och w med musen. Du ser då hur den skalära trippelprodukten hänger med och förändras. Flytta nu runt vektorerna, och se till att du får en bild av vad den skalära trippelprodukten innebär.

Notera att den skalära trippelproduktens storlek är precis volymen (ev. så när som på tecken) av den parallellepiped som vektorerna u, v och w spänner upp, och som är grå i figuren. Använd vanlig trigonometri för att övertyga dig om att det är så (storleken av kryssprodukten ger arean av en bottenyta, sedan ger skalärprodukten höjden). Vrid på det vänstra koordinatsystemet för att se det ur olika vinklar.

Notera också att om de tre vektorerna u, v och w ligger i samma plan, så blir volymen - och därför även den skalära trippelprodukten - uppenbart noll (lådan blir platt). Vi har nu hittat ett test av att tre vektorer ligger i samma plan.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna den skalära trippelprodukten för dem, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför detta både genom att räkna med komponenter (som det beskrivs i läroboken), och genom att mäta pilar och vinklar.

Tillbaka till Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner - kort version.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-08