Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Multiplikation av ett komplext tal med –1, -z - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Multiplikation av ett komplext tal med -1 är ett specialfall av det förra avsnittet (multiplikation av ett komplext tal med ett reellt tal). Har du inte läst det innan, så gör det nu. Vi såg där att vid multiplikation av ett komplext tal med ett reellt tal kan man multiplicera realdelen för sig och imaginärdelen för sig med det reella talet, dvs i det här fallet -1. Konkret innebär det att både real- och imaginärdel byter tecken.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av ett komplext tal med -1. Det komplexa talet kallas z, och är betecknat med en röd punkt. Det går också en röd linje från origo ut till punkten. Det komplexa talet –z är betecknat med blått. Du kan också se att real- och imaginärdelarna till z och –z är diskret utmärkta med ljusgrå linjer.

I figuren visas geometriskt hur multiplikation med –1 fungerar. Att realdelen byter tecken innebär att den är lika stor, fast får åt andra hållet på reella axeln. Motsvarande gäller för imaginärdelen. Det innebär att pilen till –z är lika lång som pilen till z, men motsatt riktad.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur talet –z hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur multiplikation med –1 fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du ser är –z en spegelbild av det komplexa talet z i origo. Om du funderar lite så kommer du nog på att det är så "vanlig" multiplikation med –1 fungerar också. Rita på den vanliga tallinjen så får du se!

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna produkten av dem med -1, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför multiplikationen både genom att multiplicera real- och imaginärdelar med -1, och genom att spegla i origo.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07