Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Multiplikation av ett komplext tal med i, iz - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Multiplikation av ett komplext tal med i är ett specialfall av det förra avsnittet (multiplikation av komplexa tal i allmänhet). Har du inte läst det innan, så gör det nu. Vi såg där att vid multiplikation av komplexa tal klarar man sig med samma räkneregler som vanligt, men man måste alltid komma ihåg att produkten i× i = -1. Om vi har ett komplext tal, z = a+bi, och multiplicerar det med i, så gör vi så här: iz = i(a+bi) = ai + bi× i = ai +b(-1) = -b + ai. Notera hur vi multiplicerar som vanligt, ersätter i× i med –1, och sedan ordnar termerna så att vi får de reella för sig och de imaginära för sig. Vi kan alltså med blotta ögat se att produkten har realdelen -b och imaginärdelen a. Vi ser alltså att vid multiplikation med i byter i princip real- och imaginärdel roll. Detta bryr man sig dock inte om att komma ihåg. Det är lättare att bara multiplicera. Vi skall göra en annan observation strax.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av ett komplext tal med i. Det komplexa talet kallas z, och är betecknat med en röd punkt. Det går också en röd linje från origo ut till punkten. Det komplexa talet iz är betecknat med blått. Du kan också se att real- och imaginärdelarna till z och iz är diskret utmärkta med ljusgrå linjer.

I figuren visas geometriskt hur multiplikation med i fungerar. Att real- och imaginärdel i princip "byter roll" innebär att pilen för iz är lika lång som den för z, fast får åt andra hållet på reella axeln. Däremot får den en annan riktning.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur talet iz hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur multiplikation med i fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du nog ser är iz en vridning av det pilen till komplexa talet z med 90° .

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna produkten av dem med i, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför multiplikationen både genom att multiplicera talet med i, och genom att vrida 90° .

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07