Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Addition, z1+z2 - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

När man adderar komplexa tal gäller samma räkneregler som vanligt. Man får bara komma ihåg att hantera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Om vi har två komplexa tal, z1 = a+bi och z2 = c+di, beräknar vi deras summa så här: z1+z2 = a+bi + c+di = a+c + bi+di = (a+c) + (b+d)i. Notera hur vi adderar som vanligt, och sedan grupperar termerna så att vi får de reella för sig och de imaginära för sig. Vi kan alltså med blotta ögat se att summan har realdelen a+c och imaginärdelen b+d. Vi ser alltså att vid addition med komplexa tal kan man addera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på addition av komplexa tal. Talen kallas som ovan z1 och z2, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Du kan också se att real- och imaginärdelarna till talen är diskret utmärkta med ljusgrå linjer. Nu sitter dessa dock inte längre på axlarna, utan "följer med" ut till punkten. Detta för att tydligare illustrera hur talen byggs upp av sina real- och imaginärdelar. Summan z1+z2 är betecknad med en grön punkt och linje.

I figuren visas geometriskt hur additionen fungerar. Vi sade nyss att man får addera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Om vi startar i origo och går längs den reella axeln sträckan Re(z1), och sedan fortsätter sträckan Re(z2), så har vi realdelen för z1+z2. Sedan gör vi likadant med imaginärdelarna. Eftersom detta är en rent geometrisk konstruktion ser vi att vi lika gärna kan följa de grå linjerna i ett sick-sack-mönster från origo ut till z1+z2. Men två och två så utgör de grå linjerna inget annat än de ursprungliga komplexa talen z1 och z2. Om vi ser linjerna som vi ritat de komplexa talen med som pilar, så kan vi alltså konstruera summan av talen genom att rent geometriskt "flytta" den ena pilen så att den börjar där den andra slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där summan börjar och slutar. Detta förklarar varför jag ritat in z2 på två ställen. Där jag skrivit +z2 har jag alltså förflyttat den dit z1 slutar.

Detta går att göra med hur många komplexa tal som helst tillsammans. Man sätter dem bara i en lång rad. Det spelar heller ingen roll i vilken ordning man sätter dem. Prova själv så får du se. Akta dig bara så att du inte förändrar storlek eller riktning på något tal. Det är bara placeringen man får ändra (annars ändrar du ju real- eller imaginärdelen, och då är det ju inte samma tal längre).

Du kan nu ta tag i de båda komplexa talen z1 och z2 med musen och släpa runt dem i det komplexa talplanet. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade z2, liksom de gråa real- och imaginärdelarna. Släpa nu runt z1 och z2 till olika ställen, och se till att du får en bild av hur additionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du kommer att se senare är addition av komplexa tal nästan samma sak som addition av vektorer.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna deras summa, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför additionen både genom att addera real- och imaginärdelar, och genom att lägga pilar efter varandra.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07