Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Multiplikation, z1z2 - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

När man multiplicerar komplexa tal med varandra klarar man sig med samma räkneregler som vanligt, men med ett viktigt tillägg. Man måste alltid komma ihåg att produkten i× i = -1 (det var ju så vi ville att i skulle fungera). Om vi har två komplexa tal, z1 = a+bi och z2 = c+di, beräknar vi deras produkt så här: z1z1 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi× i = ac + adi + bci + bd(-1) = ac – bd + adi + bci = (ac–bd) + (ad+bc)i. Notera hur vi multiplicerar ihop parenteserna som vanligt, ersätter i× i med –1, och sedan grupperar termerna så att vi får de reella för sig och de imaginära för sig. Vi ser alltså att det vid multiplikation med komplexa tal inte finns ett lika lätt samband för real- och imaginärdelarna som vid addition och subtraktion.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av komplexa tal. Talen kallas som ovan z1 och z2, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Här är inte real- och imaginärdelarna till talen utmärkta, eftersom det inte finns något enkelt samband att visa. Produkten z1z2 är betecknad med en grön punkt och linje. I figuren visas geometriskt hur multiplikationen fungerar.

Du kan nu ta tag i de båda komplexa talen z1 och z2 med musen och släpa runt dem i det komplexa talplanet. Du ser då hur produkten hänger med och förändras. Släpa nu runt z1 och z2 till olika ställen, och se till att du får en bild av hur multiplikationen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Här kanske du noterar något annat om hur multiplikationen fungerar. Du kommer senare i kursen att lära dig skriva komplexa tal på något som kallas polär form. Då räknar man med talets belopp och argument i stället för med real- och imaginärdel som vi hittills gjort (vilket kallas rektangulär form). Beloppet är helt enkelt längden på pilen som representerar talet. Argumentet är vinkeln från positiva reella axeln till pilen som representerar talet. Vinkeln växer moturs.

Om du är uppmärksam kan du se att beloppet av z1z2 är lika med produkten av beloppen för z1 och z2. Du kan också se att argumentet av z1z2 är lika med summan av argumenten för z1 och z2. Detta betecknas så här: |z1z2| = |z1||z2|, respektive arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2). Du kan se detta så här: om du förlänger/förkortar pilen till något av talen z1 eller z2 (utan att vrida dem), så förlängs/förkortas pilen för z1z2 än mer utan att vridas, och om du vrider pilen till något av talen z1 eller z2 (utan att förlänga eller förkorta dem), så vrids pilen för z1z2 med utan att förlängas eller förkortas. Oroa dig inte om du inte förstår detta nu, det kommer att gås igenom mer senare i kursen. Återvänd gärna hit då.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna deras produkt, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför multiplikationen både genom att räkna teoretiskt med real- och imaginärdelarna, och genom att multiplicera belopp och addera argument.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07