Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Multiplikation av ett komplext tal med ett reellt tal, kz - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

När man multiplicerar ett komplext tal med ett reellt tal klarar man sig med samma räkneregler som vanligt (vi kommer till multiplikation av två komplexa tal om en stund). Man får bara komma ihåg att hantera realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Om vi har ett komplext tal z = a+bi och ett reellt tal k, beräknar vi deras produkt så här: kz =k(a+bi) = ka + kbi = (ka) + (kb)i. Notera hur vi multiplicerar som vanligt, och sedan grupperar termerna så att vi får de reella för sig och de imaginära för sig. Vi kan alltså med blotta ögat se att produkten har realdelen ka och imaginärdelen kb. Vi ser alltså att vid multiplikation av ett komplext tal med ett reellt tal kan man multiplicera realdelen för sig och imaginärdelen för sig med det reella talet.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // B and C are there just so that the lines will not cover each other ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av ett komplext tal med de reella talen 2, 3 och -1. Det komplexa talet kallas som ovan z, och är betecknat med en röd punkt. Det går också en röd linje från origo ut till punkten. Du kan också se att real- och imaginärdelarna till z är diskret utmärkta med ljusgrå linjer. De komplexa talen 2z, 3z och –z är betecknade med blått, grönt respektive magenta (någon sorts lila).

I figuren visas geometriskt hur multiplikation med reella tal fungerar. Vi sade nyss att man får multiplicera realdelen för sig och imaginärdelen för sig med det reella talet. Om vi startar i origo och går längs den reella axeln sträckan Re(z), och sedan fördubblar det, så har vi realdelen för talet 2z. Sedan gör vi likadant med imaginärdelarna (och naturligtvis på motsvarande sätt vid multiplikation med annat tal än 2). Eftersom både real- och imaginärdelarna multipliceras med samma tal kommer produkten att peka i samma rikting som det ursprungliga talet. Det enda som händer är att längden på pilen från origo till produkten blir k gånger längre än pilen från origo till z. Multiplicerar man med negativa tal blir tydligen riktningen motsatt (mer om det på egen sida.)

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur talen 2z, 3z och –z hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur multiplikation med reella tal fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du ser ger multiplikation av ett komplext tal med ett reellt tal bara en förlängning (eller förkortning om |k|<1) av det komplexa talet. Om du funderar lite så kommer du nog på att det är så "vanlig" multiplikation mellan reella tal fungerar också. Rita på den vanliga tallinjen så får du se!

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna produkten av dem med några reella tal, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför multiplikationen både genom att multiplicera real- och imaginärdelar med det reella talet, och genom att förlänga (förkorta) pilar.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07