Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Real- och Imaginärdel, Re(z) och Im(z) - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Ett komplext tal z kan alltid skrivas på formen z = a+bi. Bokstaven i betecknar här den imaginära enheten. Det är den som gör att z inte är ett vanligt reellt tal. Den imaginära enheten är konstruerad för att ha egenskapen i2=-1.

Vi ser att talet z består av två delar, a och b. Dessa kallas talets real- och imaginärdelar, och betecknas Re(z) = a respektive Im(z) = b. Både a och b är vanliga reella tal. Observera att imaginärdelen är det tal som står tillsammans med i. Talet i självt ingår inte i imaginärdelen.

Om imaginärdelen är noll, ser vi att vi kan skriva z = a. Man säger då att z är rent reellt. Det passar bra, för vi sade ju att det var den imaginära enheten som gjorde att z inte var ett reellt tal, och nu har vi inte den imaginära enheten kvar. Om realdelen är noll, ser vi att vi kan skriva z = bi. Man säger då att z är rent imaginärt.

Vanliga reella tal kan man pricka in på en tallinje. Det går inte med komplexa tal, eftersom de har två delar. Däremot går det bra om vi använder två axlar, en för real- och en för imaginärdelen. Man brukar rita dem med rät vinkel mot varandra, och så att den reella axeln pekar åt höger, och den imaginära axeln pekar uppåt. Detta kallas det komplexa talplanet, och har samma funktion för komplexa tal som tallinjen har för reella tal. Ett komplext tal kan nu föras in som en punkt i det komplexa talplanet. Ofta drar man också ett streck från origo ut till punkten.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på ett komplext tal i det komplexa talplanet. Talet kallas z, och är betecknat med en röd punkt. Det går också en röd linje från origo ut till punkten. På den reella axeln är realdelen till z, Re(z), införd som en blå linje. På samma sätt är imaginärdelen till z, Im(z), införd som en blå linje på den imaginära axeln.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur real- och imaginärdelarna hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av vad de termer som definierats i kursiv stil ovan betyder, och vad de har för inbördes relationer. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Som du ser finns det bara en möjlig punkt att pricka in ett komplext tal om real- och imaginärdelarna är givna. Omvänt så kan man läsa av real- och imaginärdelarna på axlarna om det komplexa talet är inprickat i det komplexa talplanet.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, identifiera real- och imaginärdelarna, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Prova också att omvänt pricka in några komplexa tal på måfå i det komplexa talplanet, och därifrån avläsa real- och imaginärdelarna så att du kan skriva ner dem på formen z = a+bi. Prova med tal i alla fyra kvadranter (de fyra delar som axlarna delar upp det komplexa talplanet i). Tips: använd rutat papper och låt rutorna vara en enhet i respektive riktning.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07