Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Triangelolikheten, |z1+z2| £ |z1| + |z2| - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

En klassisk sats för komplexa tal (den kan formuleras för vektorer också) är triangelolikheten. Den kan bevisas teoretiskt, t.ex. mha räkneregler för konjugat. Satsen säger att om z1 och z2 är komplexa tal, så gäller att |z1+z2| £ |z1| + |z2|. Det teoretiska beviset lämnar vi till läroboken, så koncentrerar vi oss här på en geometrisk tolkning.

Vi utgår från de två komplexa talen, z1 = a+bi och z2 = c+di. |z1| och |z2| betyder då beloppen på de två talen, dvs längden på pilarna till dem. På samma sätt betyder då |z1+z2| beloppet på summan av talen, dvs längden på pilen till talet z1+z2.

I avsnittet om addition av komplexa tal (har du inte läst det avsnittet innan, så gör det nu) såg vi att vi kan konstruera summan z1+z2 genom att förflytta z2 så att den börjar där z1 slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där summan börjar och slutar.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel där de komplexa talen z1 och z2 adderas, och där deras (och deras summas) belopp är utmärkta. Talen är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Summan z1+z2 är betecknad med en grön punkt och linje.

I figuren bevisas triangelolikheten geometriskt. Vi ser att de tre linjerna som representerar talen z1, z2 och z1+z2 utgör sidorna i en triangel. Satsen säger helt enkelt att den gröna sidans längd är mindre än eller lika med summan av längderna av den blå och den röda sidan. Vi ser också direkt att det måste vara så. Annars skulle triangeln inte sitta ihop (och att det alltid blir en triangel är ju som vi tidigare sett en konsekvens av hur additionen fungerar). Likheten gäller dessutom bara om pilarna till z1 och z2 är parallella.

Du kan nu ta tag i de båda komplexa talen z1 och z2 med musen och släpa runt dem i det komplexa talplanet. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade z2. Släpa nu runt z1 och z2 till olika ställen, och se till att övertyga dig om att triangelolikheten är sann. Underst i figuren finns en tallinje, där talen |z1+z2| och |z1| + |z2| är avsatta. Hur du än drar runt z1 och z2 kan du inte få |z1+z2| att passera |z1| + |z2| på tallinjen.

Prova nu gärna att själv testa triangelolikheten med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna deras summa, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Dels kan du geometriskt mäta längderna, dels kan du beräkna beloppen mha real- och imaginärdelarna.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07