Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Triangelolikheten, |z1+z2| £ |z1| + |z2| - kort version
(Det finns också en längre version om du vill ha mer förklaringar eller bakgrund.)

Triangelolikheten säger att om z1 och z2 är komplexa tal, så gäller att |z1+z2| £ |z1| + |z2|.

Vi utgår från de två komplexa talen, z1 = a+bi och z2 = c+di. |z1| och |z2| betyder då beloppen på de två talen, dvs längden på pilarna till dem. På samma sätt betyder då |z1+z2| beloppet på summan av talen, dvs längden på pilen till talet z1+z2.

I figuren bevisas triangelolikheten geometriskt. Vi ser att de tre linjerna som representerar talen z1, z2 och z1+z2 utgör sidorna i en triangel. Satsen säger helt enkelt att den gröna sidans längd är mindre än eller lika med summan av längderna av den blå och den röda sidan. Vi ser också direkt att det måste vara så. Annars skulle triangeln inte sitta ihop.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel där de komplexa talen z1 och z2 adderas, och där deras (och deras summas) belopp är utmärkta. Talen är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Summan z1+z2 är betecknad med en grön punkt och linje.

Du kan nu ta tag i de båda komplexa talen z1 och z2 med musen och släpa runt dem i det komplexa talplanet. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Underst i figuren finns en tallinje, där talen |z1+z2| och |z1| + |z2| är avsatta. Hur du än drar runt z1 och z2 kan du inte få |z1+z2| att passera |z1| + |z2| på tallinjen.

Tillbaka till Komplexa tal - kort version.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07