Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Addition av ett komplext tal med sitt konjugat, z+z* = 2Re(z) - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Addition av ett komplext tal med sitt konjugat är ett specialfall av det förra avsnittet (addition av komplexa tal i allmänhet). Har du inte läst det innan, så gör det nu. Vi såg där att vid addition gäller samma räkneregler som vanligt. Om vi har ett komplext tal, z = a+bi, adderar vi dess konjugat , z* = a-bi, så här: z+z* = a+bi + a-bi = a+a + bi-bi = 2a. Notera hur vi adderar som vanligt, och att de imaginära termerna tar ut varandra. Vi kan alltså med blotta ögat se att summan har realdelen 2a och imaginärdelen 0. Vi ser alltså att vid addition av ett komplext tal med sitt konjugat, blir summan alltid ett rent reellt tal, nämligen dubbla realdelen av talet.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på addition av ett komplext tal med sitt konjugat. Talen kallas som ovan z och z*, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Summan z+z* är betecknad med en grön punkt och linje.

I figuren visas geometriskt hur additionen fungerar. Vi gör som i förra avsnittet och konstruerar summan av talen genom att rent geometriskt "flytta" den ena pilen så att den börjar där den andra slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där summan börjar och slutar. Detta förklarar varför jag ritat in z* på två ställen. Där jag skrivit +z* har jag alltså förflyttat den dit z slutar.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade z*. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur additionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, addera konjugatet, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför additionen både genom att addera real- och imaginärdelar, och genom att fördubbla realdelen och avsätta den på reella axeln.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07