Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Subtraktion av ett komplext tal med sitt konjugat, z-z* = 2Im(z) - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Subtraktion av ett komplext tal med sitt konjugat är ett specialfall av det förra avsnittet (subtraktion av komplexa tal i allmänhet). Har du inte läst det innan, så gör det nu. Vi såg där att vid subtraktion gäller samma räkneregler som vanligt. Om vi har ett komplext tal, z = a+bi, subtraherar vi dess konjugat , z* = a-bi, så här: z-z* = a+bi – (a-bi) = a-a + bi-(-bi) = 2bi. Notera hur vi subtraherar som vanligt, och att de reella termerna tar ut varandra. Vi kan alltså med blotta ögat se att differensen har realdelen 0 och imaginärdelen 2b. Vi ser alltså att vid subtraktion av ett komplext tal med sitt konjugat, blir differensen alltid ett rent imaginärt tal, och med dubbelt så stor imaginärdel.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på subtraktion av ett komplext tal med sitt konjugat. Talen kallas som ovan z och z*, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Differensen z-z* är betecknad med en grön punkt och linje.

I figuren visas geometriskt hur subtraktionen fungerar. Vi gör som i förra avsnittet och konstruerar differensen av talen genom att rent geometriskt byta håll på pilen för z*, och "flytta" den så att den börjar där pilen för z slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där differensen börjar och slutar. Detta förklarar varför jag ritat in z* på två ställen. Där jag skrivit -z* har jag alltså bytt håll på den och förflyttat den dit z slutar.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur differensen hänger med och förändras. Det gör även -z* (som vi bytt håll på och förflyttat). Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur subtraktionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, subtrahera konjugatet, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför subtraktionen både genom att subtrahera real- och imaginärdelar, och genom att fördubbla imaginärdelen och avsätta den på imaginära axeln.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07