Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Division av ett komplext tal med sitt konjugat, z/z* - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Division av ett komplext tal med sitt konjugat är ett specialfall av division av komplexa tal i allmänhet. Har du inte läst det avsnittet innan (liksom det om konjugat), så gör det nu. Vi såg där att det vid division av komplexa tal gäller att|z1/z2| = |z1|/|z2|, respektive arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2). Titta efter i förra avsnittet om du inte kommer ihåg vad beteckningarna betyder.

När du har läst om belopp och argument kan du själv se att |z| = |z*| och arg(z) = -arg(z*). Det innebär att |z/z*| = 1 och arg(z/z*) = 2× arg(z). Det innebär att division av ett komplext tal med sitt konjugat fördubblar argumentet och ger beloppet 1.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på division av ett komplext tal med sitt konjugat. Talen kallas som ovan z och z*, och är betecknade med en röd respektive en blå punkt. Det går också en röd resp. en blå linje från origo ut till punkterna. Kvoten z/z* är betecknad med en grön punkt och linje. I figuren visas geometriskt hur divisionen fungerar.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur kvoten hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur divisionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, dividera dem med sitt konjugat, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför divisionen både genom att räkna teoretiskt med real- och imaginärdelarna, och genom att sätta beloppet till 1 och fördubbla argumentet.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07