Interaktiv Matematik

Komplexa tal

Multiplikation av ett komplext tal med sitt konjugat, zz* = |z|2 - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Multiplikation av ett komplext tal med sitt konjugat är ett specialfall av multiplikation av komplexa tal i allmänhet. Har du inte läst det avsnittet innan (liksom det om konjugat), så gör det nu. Vi såg där att vid multiplikation av komplexa tal klarar man sig med samma räkneregler som vanligt, men man måste alltid komma ihåg att produkten i× i = -1. Om vi har ett komplext tal, z = a+bi, och multiplicerar det med sitt konjugat, z* = a-bi, så gör vi så här: zz* = (a+bi)(a-bi) = aa - abi + bai - bbi× i = a2 - abi + abi - b2(-1) = a2 + b2. Notera hur vi multiplicerar som vanligt, ersätter i× i med –1, och att imaginärdelarna tar ut varandra så att resultatet blir rent reellt. Vi kan alltså med blotta ögat se att produkten har realdelen a2 + b2 och imaginärdelen 0.

Detta faktum att produkten av ett komplext tal med sitt konjugat alltid är ett reellt tal utnyttja man ofta, bl a vid division med komplexa tal, vilket visas i ett senare avsnitt.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for complex plane // Re-axis // Im-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av ett komplext tal med sitt konjugat. Det komplexa talet kallas z, och är betecknat med en röd punkt. Det går också en röd linje från origo ut till punkten. Det komplexa talets konjugat, z*, är betecknat med blått. Produkten zz* är betecknad med en grön punkt och linje. I figuren visas geometriskt hur multiplikationen fungerar.

Du kan nu ta tag i det komplexa talet z med musen och släpa runt det i det komplexa talplanet. Du ser då hur talet z* och produkten zz* hänger med och förändras. Släpa nu runt z till olika ställen, och se till att du får en bild av hur multiplikation med konjugatet fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Om du är uppmärksam kan du se att beloppet av (längden av pilen till) zz* är lika med kvadraten på beloppet för z. Detta kan betecknas så här: |zz*| = |z|2. Du kan se detta så här: om du förlänger/förkortar pilen till talet z (utan att vrida den), så förlängs/förkortas pilen för zz* än mer (och är alltid reell), och om du vrider pilen till talet z (utan att förlänga eller förkorta den), så vrids pilen för zz* fortfarande inte med (eftersom den alltid är reell) och förlängas eller förkortas inte heller.

Vi kan även räkna ut detta med gammal hederlig geometri, mha Pythagoras sats. Pilen till talet z kan nämligen ses som hypotenusas i en rätvinklig triangel med kateterna Re(z) = a och Im(z) = b. Enligt Pythagoras sats gäller då att |z|2 = a2 + b2. Detta stämmer precis med vårt resonemang nyss.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några komplexa tal, beräkna produkten av dem med sitt konjugat, och pricka in dem i det komplexa talplanet. Genomför multiplikationen både genom att räkna teoretiskt med real- och imaginärdelarna, och genom att räkna ut kvadraten på längden av pilen till talet och avsätta den på reella axeln.

Tillbaka till Komplexa tal.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-06-07