Interaktiv Matematik

Trigonometri

Komplementvinklar, cos(p /2-t) = sin(t), sin(p /2-t) = cos(t) - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Direkt från definitionen med enhetscirkeln kan vi dra olika slutsatser om cosinus- och sinusfunktionerna. Ett exempel är om cosinus och sinus för komplementvinklar (vinklar vars summa är p /2 radianer – eller 90 grader).

Det gäller att cos(p /2-t) = sin(t) och sin(p /2-t) = cos(t), vilket visas med likformighet.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis // Unit circle ///////////////////////////////////// // Arrowheads ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // The "application" /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du en illustration av detta, med en vinkel t (röd) och en vinkel p /2-t (blå) inritade i enhetscirkeln. Vi ser att de är symmetriska med avseende på linjen y = x, som är inritad i ljusgrå färg. Det vinkelräta avståndet från P och P’ (också inritat med ljusgrått) till den linjen är alltså lika. Eftersom punkterna P och P’ är speglingar av varandra i linjen y = x, så är den enas x-koordinat lika med den andras y-koordinat och tvärtom.

På x-axeln är cos(t) och cos(p /2-t) införda som mörka punkter. På samma sätt är sin(t) och sin(p /2-t) införda som mörka punkter på y-axeln. Du kan också se att det finns diskreta ljusgrå linjer från P och P’ vinkelrätt ut till koordinataxlarna.

Du kan nu ta tag i punkten P med musen och släpa runt den längs enhetscirkelns periferi. Du ser då hur vinkeln t, vinkeln p /2-t, samt cos(t) och cos(p /2-t) respektive sin(t) och sin(p /2-t) hänger med och förändras.

Tillbaka till Trigonometri.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-10-15