Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Multiplikation av en vektor med en skalär - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

När man multiplicerar en vektor med en skalär vill man att vektorns längd skall ändras, men inte dess riktning. Detta kan bara ske om komponenterna ändras proportionellt lika mycket. Om vi har en vektor v = (x, y) och en skalär k, beräknar vi deras produkt så här: kv = k(x, y) = (kx, ky). Vi kan alltså med blotta ögat se att produkten har x-komponenten kx och y-komponenten ky. Vi ser alltså att vid multiplikation av en vektor med en skalär kan man multiplicera komponenterna var för sig med skalären.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på multiplikation av en vektor med de reella talen 2, 3 och -1. Vektorn kallas som ovan v, och är betecknad med en röd pil. Vektorerna 2v, 3v och –v är betecknade med blåa pilar.

I figuren visas geometriskt hur multiplikation med skalärer fungerar. Vi sade nyss att man får multiplicera komponenterna var för sig med skalären. Eftersom båda komponenterna multipliceras med samma tal kommer produkten att peka i samma rikting som den ursprungliga vektorn. Det enda som händer är att längden på pilen för kv blir k gånger längre än pilen för v. Multiplicerar man med negativa tal blir tydligen riktningen motsatt (precis som för komplexa tal).

Du kan nu ta tag i vektorn v med musen och förändra den. Du ser då hur vektorerna 2v, 3v och –v hänger med och förändras. Du kan även förflytta 2v’, 3v och -v utan att de ändrar storlek eller riktning. Flytta nu runt vektorerna, och se till att du får en bild av vad det innebär att multiplicera en vektor med en skalär.

Som du ser ger multiplikation av envektor med en skalär bara en förlängning (eller förkortning om |k|<1) av vektorn. Om du funderar lite så kommer du nog på att det är så "vanlig" multiplikation mellan reella tal fungerar också. Rita på den vanliga tallinjen så får du se!

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna produkten av dem med några reella tal, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför multiplikationen både genom att multiplicera komponenterna med det reella talet, och genom att förlänga (förkorta) pilar.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01