Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Linje - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

För att beskriva en linje behöver man en punkt på linjen och en riktningsvektor som talar om linjens riktning (det går också bra med två punkter på linjen, riktningsvektorn får man då genom att beräkna vektorn mellan punkterna).

Linjen genom punkten P0(x0, y0) med riktningsvektorn v = (a, b) innehåller precis de punkter P(x, y) för vilka vektorn P0P är parallell med v, dvs . P0P = tv, där t är ett reellt tal. Eftersom vi kan beräkna vektorn P0P = (x-x0, y-y0), så blir då villkoret för att P skall ligga på linjen så här: (x-x0, y-y0) = (ta, tb), vilket också kan skrivas så här: . Detta kallas linjens ekvation på parameterform, och det reella talet t kallas parameter. Vi ser att linjens ekvation på parameterform är ett litet ekvationssystem som inte kan lösas fullständigt – det blir en parameter kvar, man säger att linjen har en frihetsgrad. (Det finns även andra sätt att skriva linjens ekvation.)
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på en linje. Punkten P0 är betecknad med en blå punkt. Linjens riktningsvektor kallas som ovan v, och är betecknad med en röd pil. Den finns även med parallellförflyttad, så att den börjar i punkten P0. Punkten P (orange) är definierad enligt ovan så att den alltid skall ligga på den svarta linjen. Man kan även se parameterns innebörd. Den talar i princip om hur långt från P0 man befinner sig längs med linjen.

Du kan nu ta tag i riktningsvektorn v och punkten P0 med musen och förändra dem. Du ser då hur linjen och punkten P hänger med och förändras. Du kan även dra omkring punkten P, men bara längs linjen. Flytta nu runt riktningsvektorn och punkterna, och se till att du får en bild av vad linjen och dess relation till v, P och P0 innebär.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några punkter, vektorer och linjer, beräkna linjernas ekvation, och pricka in dem i koordinatsystemet. Prova sedan att hitta på vilket värde som helst på parametern t, och räkna ut koordinaterna för den punkt du får, och pricka in den i koordinatsystemet. Som du märker hamnar den alltid på linjen.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01