Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Ortsvektorer - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

I samband med att vi talar om punkter finns det en speciell vektor som det är naturligt att definiera, och som är intimt förknippad med en punkt. För en given punkt finns precis en vektor som börjar i origo och slutar i punkten. Denna vektor kallas ortsvektor till punkten. Ofta får vektorer namn efter start- och slutpunkterna. Ortsvektorn till punkten P får då det naturliga namnet OP.

Punkten P:s koordinater kan som tidigare bestämmas genom att man från punkten går vinkelrätt ut mot axlarna och avläser de värden man hamnar på. Vi ser då att dessa värden även kan användas till att beskriva vektorn OP. Punkten P:s koordinater talar om hur långt vektorn OP pekar längs respektive axel. Detta kallas vektorn OP:s komponenter. Vi ser att koordinaterna för en punkt har samma värden som komponenterna för punktens ortsvektor.

Vi har tidigare sett att en punkt kan skrivas med sina koordinater som P(x,y). På ett liknande sätt kan en vektor skrivas med sina komponenter: OP = (x,y). Komponenterna står inom parentes och är separerade av ett kommatecken. Dock har vi ett likhetstecken mellan vektornamnet och komponenterna. Det har vi inte för punkter.

Skillnaden mellan koordinater och komponenter är alltså att koordinater används för att beskriva en punkt, medan komponenter beskriver en vektor. Vi återkommer till koordinater och komponenter senare också.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på en punkt i ett koordinatsystem. Punkten kallas P, och är betecknad med en röd punkt. Du kan också se det finns diskret ljusgrå linjer från punkten vinkelrätt ut mot axlarna På x-axeln är x-koordinaten till P införd som en blå punkt. På samma sätt är y-koordinaten till P införd som en blå punkt på y-axeln. Ortsvektorn OP till punkten P är utmärkt med en röd pil.

Du kan nu ta tag i punkten P med musen och släpa runt den i koordinatsystemet. Du ser då hur koordinaterna hänger med och förändras. Du ser även hur ortsvektorn OP följer med och hur dess komponenter förändras. Släpa nu runt P till olika ställen, och se till att du får en bild av vad koordinater och komponenter betyder, och vad de har för inbördes relationer. Se absolut till att du förstår skillnaden mellan punkter och vektorer, och hur de betecknas.

Som du ser finns det bara en möjlig ortsvektor till en punkt. Omvänt så kan man bestämma en punkt om dess ortsvektor är given.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på punkter, identifiera deras ortsvektorer med tillhörande komponenter, och rita in dem i koordinatsystemet. Skriv ned dem på formen OP = (x,y). Prova också att omvänt rita några ortsvektorer på måfå i koordinatsystemet, och därifrån avläsa koordinaterna för tillhörande punkter så att du kan skriva dem på formen P(x,y). Prova med punkter och ortsvektorer i alla fyra kvadranter.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01