Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Skalärprodukt av två vektorer - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

För att beräkna skalärprodukten mellan två vektorer behöver vi först definiera vad vi menar med vinkeln mellan två vektorer. Om de två vektorerna inte börjar på samma ställe kan man ju tycka att det inte finns någon vinkel mellan dem. Då kan man dock tänka sig att man parallellförflyttar den ena vektorn så att de börjar på samma ställe. Detta förändrar ju inte vektorn. Nu finns plötsligt två vinklar att välja mellan, en som är mindre än 180° och en som är större (rita själv så märker du att det alltid är så). Nu kommer vi överens om att vi alltid menar den mindre av dessa vinklar. Därför gäller att vinkeln q mellan två vektorer alltid är 0° £ q £ 180° (vi kommer att titta närmare på det senare också). Vi vet sedan tidigare hur man beräknar normen av vektorer.

Nu är vi redo för definitionen av skalärprodukten. Om vi har två vektorer u och v med mellanliggande vinkel q , så definieras skalärprodukten så här: u· v = |u|× |v|× cosq . Detta utläses "u skalärt v". På engelska kallas det "dot product", och symbolen för skalärprodukten, · , skall vara en tjock fläck, och inte bara en prick.

Man kan också härleda ett sätt att beräkna skalärprodukten med hjälp av vektorernas komponenter. Om vi har u = (ux, uy) och v = (vx, vy), så gäller att u· v = ux× vx + uy× vy. Vi ser i båda fallen att resultatet av beräkningen är ett tal, en skalär, och det är därifrån skalärprodukten har fått sitt namn. Det finns även andra sätt att multiplicera vektorer på, vilket vi skall se senare.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på skalärprodukt. Vektorerna kallas som ovan u och v, och är betecknade med en blå respektive röd pil. På tallinjen undertill i figuren är skalärprodukten markerad med s, och utritad med en lila punkt och ett lila streck.

Du kan nu ta tag i vektorerna u och v med musen och förändra dem. Du ser då hur skalärprodukten hänger med och förändras. Flytta nu runt vektorerna, och se till att du får en bild av vad skalärprodukten innebär.

Notera att skalärproduktens tecken säger en del om den mellanliggande vinkeln q . I definitionen av skalärprodukten finns två normer, som ju alltid är positiva, och cosinus av q . Det är således q som bestämmer tecknet på skalärprodukten. Genom att studera cosinus funktionen ser vi att q är trubbig om skalärprodukten är < 0° , q är spetsig om skalärprodukten är > 0° , och q är rät om skalärprodukten är = 0° . När mellanliggande vinkel är rät brukar man säga att vektorerna är ortogonala. Vi har nu hittat ett test av ortogonalitet.

Man kan säga att skalärprodukten är ett mått på hur mycket vektorerna pekar åt samma håll. Är skalärprodukten positiv pekar de lite åt samma håll. Är den noll har de inget gemensamt (de är ortogonala). Är den negativ pekar de lite åt motsatt håll.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna skalärprodukten för dem, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför detta både genom att räkna med komponenter, och genom att mäta pilar och vinklar. Prova även att jämföra mellanliggande vinkel och tecknet på skalärprodukten. Notera speciellt när vektorerna är ortogonala.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01