Interaktiv Matematik
Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner
Skärning mellan linjer - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)
Två linjer (i 2 dimensioner) skär alltid varandra i en punkt om inte linjerna är parallella. Om de är parallella har de ingen gemensam punkt (eller också är alla punkter gemensamma, om linjerna ligger på varandra).
Vi har tidigare sett att linjens ekvation på parameterform är ett litet ekvationssystem som inte kan lösas fullständigt – det blir en parameter kvar, linjen har en frihetsgrad. Om vi kombinerar ekvationerna för två linjer så tar vi bort den frihetsgraden, och det finns (normalt) bara en punkt som uppfyller båda ekvationerna. Det är skärningspunkten. Om vi nu har två linjer, l1 och l2, så kan dessa beskrivas med var sin ekvation:
och 
. Observera att de inte kan ha samma parameter. Ett villkor för
att linjerna skall skära varandra blir nu att 
,
eller 
. Här är alla x, y, a och b givna (ingår i
linjernas ekvationer). Bara t1 och t2 är obekanta.
Två obekanta och två ekvationer gör att det (normalt) finns precis en lösning.
Här bredvid ser du ett exempel på två linjer. Linjernas riktningsvektorer kallas v1 och v2, och är betecknade med en röd respektive blå pil. Linjerna är utritade med svarta streck, och deras skärningspunkt, s, är betecknad med en lila punkt.
Du kan nu ta tag i riktningsvektorerna v1 och v2 med musen och förändra dem. Du ser då hur linjerna och deras skärningspunkt hänger med och förändras. Flytta nu runt riktningsvektorerna, och se till att du får en bild av vad skärningen mellan två linjer innebär.
Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några linjer, beräkna deras skärningspunkt, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför detta både genom att räkna enligt ovan, och genom att konstruera geometriskt.
Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01