Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Triangelolikheten - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

En klassisk sats för vektorer (den kan formuleras för komplexa tal också) är triangelolikheten. Satsen säger att om u och v är vektorer, så gäller att |u+v| £ |u| + |v|. Det teoretiska beviset lämnar vi till läroboken, så koncentrerar vi oss här på en geometrisk tolkning.

Vi utgår från de två vektorerna, u och v. |u| och |v| betyder då längden av de två vektorerna. På samma sätt betyder då |u+v| längden av u+v.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel där de vektorerna u och v adderas. De är betecknade med en röd respektive en blå pil. Summan u+v är betecknad med en grön pil. Vektorn v är också parallellförflyttad så att den börjar där u slutar (det är ju så man konstruerar summan geometriskt).

I figuren bevisas triangelolikheten geometriskt. Vi ser att de tre pilarna som representerar vektorerna u, v och u+v utgör sidorna i en triangel. Satsen säger helt enkelt att den gröna sidans längd är mindre än eller lika med summan av längderna av den blå och den röda sidan. Vi ser också direkt att det måste vara så. Annars skulle triangeln inte sitta ihop (och att det alltid blir en triangel är ju som vi tidigare sett en konsekvens av hur additionen fungerar). Likheten gäller dessutom bara om vektorerna u och v är parallella.

Du kan nu ta tag i de båda vektorerna u och v med musen och släpa runt dem i koordinatsystemet. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade v. Släpa nu runt u och v, och se till att övertyga dig om att triangelolikheten är sann. Underst i figuren finns en tallinje, där talen |u+v| och |u| + |v| är avsatta. Hur du än drar runt u och v kan du inte få |u+v| att passera |u| + |v| på tallinjen.

Prova nu gärna att själv testa triangelolikheten med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna deras summa, och pricka in dem i koordinatsystemet. Dels kan du geometriskt mäta längderna, dels kan du beräkna dem mha komponenterna.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01