Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Beräkna vektorn mellan två punkter - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

För att beräkna vektorn mellan två punkter, P och Q, använder man sig av ortsvektorerna till dessa punkter, OP och OQ. Som vi såg i förra avsnittet om vektorsubtraktion beräknar man differensen OQ – OP genom att rent geometriskt först byta håll på pilen för OP och sedan "flytta" den så att den börjar där pilen för OQ slutar.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på detta. Punkterna kallas som ovan P och Q, och vektorerna OP och OQ, och är betecknade med en blåa respektive röda punkter och pilar. Differensen OQ – OP är betecknad med en grön pil. Vektorn som vi söker (mellan punkterna P och Q), PQ, är betecknad med en lila pil. Av likformigheten i figuren inser vi att vektorn PQ är precis samma som vektorn OQ – OP.

I figuren visas geometriskt hur detta fungerar. Vi byter håll på pilen för OP och flyttar den så att den börjar där pilen för OQ slutar. Detta förklarar varför jag ritat in OP på två ställen. Där jag skrivit -OP har jag alltså bytt håll på den och förflyttat den dit OQ slutar. Vi såg i avsnittet om vektorsubtraktion att differensens komponenter är differensen av termernas komponenter. Det gäller alltså att om OQ = (OQx, OQy) och OP = (OPx, OPy), så är OQ – OP = (OQx-OPx, OQy-OPy).

Men vi har också tidigare sagt att komponenterna för en ortsvektor till en punkt är lika med koordinaterna till punkten. Om alltså P(Px, Py) och Q(Qx, Qy), så är OP = (Px, Py) och OQ = (Qx, Qy). Eftersom dessutom den sökta vektorn PQ var lika med OQ – OP, så gäller tydligen att PQ = (Qx-Px, Qy-Py). Alltså får man komponenterna till vektorn mellan två punkter genom att beräkna differensen av punkternas koordinater.

Du kan nu förändra de båda punkterna P och Q med musen. Du ser då hur vektorerna hänger med och förändras. Flytta nu runt P och Q, och se till att du får en bild av hur detta fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några punkter, beräkna vektorn mellan dem, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför detta både genom att subtrahera koordinater, och genom att lägga pilar efter varandra.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01