Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Vektoraddition - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Man konstruerar summan av två vektorer genom att rent geometriskt "flytta" den ena pilen så att den börjar där den andra slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där summan börjar och slutar.

///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på addition av vektorer. Vektorerna kallas som ovan u och v, och är betecknade med en röd respektive en blå pil. Summan u+v är betecknad med en grön pil.

I figuren visas geometriskt hur additionen fungerar. Vi flyttar pilen för v så att den börjar där pilen för u slutar. Detta förklarar varför jag ritat in v på två ställen. Där jag skrivit +v har jag alltså förflyttat den dit u slutar. Eftersom detta är en rent geometrisk konstruktion ser vi att vi lika gärna kan följa de ljusgrå linjerna i ett sick-sack-mönster från början till slutet av u+v. Men längden på de diskreta ljusgrå linjerna utgör inget annat än vektorernas komponenter i x- och y-riktningarna. Vi ser att summans komponenter är summan av termernas komponenter. Det gäller alltså att om u = (ux, uy) och v = (vx, vy), så är u+v = (ux+vx, uy+vy). Man kan alltså addera komponentvis.

Detta går att göra med hur många vektorer som helst tillsammans. Man sätter dem bara i en lång rad. Det spelar heller ingen roll i vilken ordning man sätter dem. Prova själv så får du se. Akta dig bara så att du inte förändrar storlek eller riktning på någon vektor. Det är bara placeringen man får ändra (annars ändrar du komponenterna, och då är det ju inte samma vektor längre).

Du kan nu förändra de båda vektorerna u och v med musen. Du ser då hur summan hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade v. Flytta nu runt u och v, och se till att du får en bild av hur additionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna deras summa, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför additionen både genom att addera komponenter, och genom att lägga pilar efter varandra.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01