Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner

Vektorsubtraktion - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Man konstruerar differensen u-v av två vektorer genom att rent geometriskt "flytta" den ena pilen så att den börjar där den andra slutar. Vi kan dock inte flytta v direkt dit u slutar, för då skulle vi ju (som vi tidigare sett) få summan av dem i stället. Vi kan dock lätt ordna det genom att till u addera –v, och vi har tidigare sett att man får –v genom att bara byta håll på pilen för v. Vi kan alltså konstruera differensen av vektorerna genom att rent geometriskt först byta håll på pilen för v och sedan "flytta" den så att den börjar där pilen för u slutar. Vi får då ett "tåg" av pilar, som tillsammans börjar och slutar där differensen börjar och slutar. Detta förklarar varför jag ritat in v på två ställen. Där jag skrivit -v har jag alltså bytt håll på den och förflyttat den dit u slutar.
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du ett exempel på subtraktion av vektorer. Vektorerna kallas som ovan u och v, och är betecknade med en röd respektive en blå pil. Differensen u-v är betecknad med en grön pil.

I figuren visas geometriskt hur subtraktionen fungerar. Vi byter håll på pilen för v och flyttar den så att den börjar där pilen för u slutar. Detta förklarar varför jag ritat in v på två ställen. Där jag skrivit -v har jag alltså bytt håll på den och förflyttat den dit u slutar. Eftersom detta är en rent geometrisk konstruktion ser vi att vi lika gärna kan följa de grå linjerna i ett sick-sack-mönster från början till slutet av u-v. Men längden på de diskreta ljusgrå linjerna utgör inget annat än vektorernas komponenter i x- och y-riktningen. Vi ser att differensens komponenter är differensen av termernas komponenter. Det gäller alltså att om u = (ux, uy) och v = (vx, vy), så är u-v = (ux-vx, uy-vy). Man kan alltså subtrahera komponentvis.

Detta går att göra med hur många vektorer som helst tillsammans. Man sätter dem bara i en lång rad. Det spelar heller ingen roll i vilken ordning man sätter dem. Prova själv så får du se. Akta dig bara så att du inte förändrar storlek eller riktning på någon vektor. Det är bara placeringen man får ändra (annars ändrar du komponenterna, och då är det ju inte samma vektor längre).

Du kan nu förändra de båda vektorerna u och v med musen. Du ser då hur differensen hänger med och förändras. Det gör även den förflyttade och omvända -v. Flytta nu runt u och v, och se till att du får en bild av hur subtraktionen fungerar. Efter en stund kan du gärna försöka förutse vad som kommer att hända innan du gör en förändring.

Prova nu gärna att själv räkna på detta med papper och penna, genom att hitta på några vektorer, beräkna deras differens, och pricka in dem i koordinatsystemet. Genomför subtraktionen både genom att subtrahera komponenter, och genom att lägga pilar efter varandra.

Tillbaka till Vektorer, punkter och linjer i 2 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-01