Interaktiv Matematik

Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner

Skalär trippelprodukt - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Den skalära trippelprodukten är egentligen inget nytt sätt att multiplicera vektorer. Det är faktiskt bara en kombination av skalär- och kryssprodukten. Som hörs på namnet är resultatet av den skalära trippelprodukten en skalär, dvs ett vanligt tal.

Om vi har tre vektorer u, v och w, så definieras den skalära trippelprodukten så här: u· (v´ w).

Här nedan ser du ett exempel på skalär trippelprodukt. Vektorerna kallas som ovan u, v och w, och är betecknade med en röd, blå respektive grön pil. På tallinjen undertill i figuren är skalärprodukten markerad med s, och utritad med en lila punkt och ett lila streck.
///////////////////////////////////// // Rotatable coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for coordinate system // Sphere that contains the coordinate system // Z-axis // XY-plane // XY-circle // X-axis // YZ-plane // XZ-plane // Y-axis ///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // .Origin for .X-.Y-coordinate system // .X-axis // .Y-axis // .Z-axis ///////////////////////////////////// // The "application" ///////////////////////////////////// // X- and Y-coordinates in fixed system // Z-coordinates in fixed system // Coordinates in rotatable system // XY-points in rotatable system // Points in rotatable system // Parallelepiped // UxV // (UxV).W // Real numbers' axis ///////////////////////////////////// // Arrowheads /////////////////////////////////////

Du kan nu förändra vektorerna u, v och w med musen. Du ser då hur den skalära trippelprodukten hänger med och förändras.

Notera att den skalära trippelproduktens storlek är precis volymen (ev. så när som på tecken) av den parallellepiped som vektorerna u, v och w spänner upp, och som är grå i figuren. Använd vanlig trigonometri för att övertyga dig om att det är så (storleken av kryssprodukten ger arean av en bottenyta, sedan ger skalärprodukten höjden). Vrid på det vänstra koordinatsystemet för att se det ur olika vinklar.

Notera också att om de tre vektorerna u, v och w ligger i samma plan, så blir volymen - och därför även den skalära trippelprodukten - uppenbart noll (lådan blir platt). Vi har nu hittat ett test av att tre vektorer ligger i samma plan.

Tillbaka till Vektorer, punkter, linjer och plan i 3 dimensioner.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-07-08