Interaktiv Matematik

Trigonometri

Periodicitet, cos(t+2p ) = cos(t), sin(t+2p ) = sin(t) - lång version
(Det finns också en kortare version om du vill ha mindre förklaringar eller bakgrund.)

Direkt från definitionen med enhetscirkeln kan vi dra olika slutsatser om cosinus- och sinusfunktionerna. Ett exempel är periodicitet.

Vi har definierat cos(t) = x och sin(t) = y, där (x, y) är koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln. Vi ser att om vi har en vinkel t, och sedan vrider ett helt varv till (dvs 2p radianer), så befinner vi oss i samma punkt. Cos(t) och sin(t) har tydligen funktionsvärden som återkommer varje gång vi lägger till (eller drar ifrån) 2p till t. Man säger att de har perioden 2p . Detta kan skrivas cos(t+2p ) = cos(t) och sin(t+2p ) = sin(t).
///////////////////////////////////// // Fixed coordinate system ///////////////////////////////////// // Origin for X-Y-coordinate system // X-axis // Y-axis // Unit circle ///////////////////////////////////// // Arrowheads ///////////////////////////////////// ///////////////////////////////////// // The "application" /////////////////////////////////////

Här bredvid ser du en illustration av detta, med en vinkel t (röd) och en vinkel t + 2p (blå) inritade i enhetscirkeln. Cos(t) (lila linje) och sin(t) (grön linje) är inritade på x- respektive y-axeln. Du kan också se att det finns diskreta ljusgrå linjer från P vinkelrätt ut till koordinataxlarna.

Du kan nu ta tag i punkten P med musen och släpa runt den längs enhetscirkelns periferi. Du ser då hur vinkeln t, vinkeln t + 2p , samt cos(t) och sin(t) hänger med och förändras.

Tillbaka till Trigonometri.
© Per Edström, TNV, Mitthögskolan.
Uppdaterad: 1999-10-15