Referenser
- [B] Avsnitt 2.1, 2.2-2.3
- [B] Avsnitt 3.1-3.2, 3.3-3.4
- [L] kapitel 1, avsnitt 2.7.1, 3.7.4
och 4.3-4.4 - E. Möllehed:
Problemlösning i matematik:
en studie av påverkansfaktorer
i årskurserna 4-9
ISBN 91-88810-20-8
Innehåll
Nyckelord
Talsystem
Mängder
Operationer på mängder
Mängden Z tillsammans med dess opeationer +, - och ·
Algoritmer för addition och subtraktion i Z
Algoritmer för multiplikation och division med rest i Z
Övningar
Tal och mängder
Nyckelord
De naturliga talen N. Talsystem. Positionssystem, bas. Mängder, operationer på mängder: union, snitt, mängddifferens. Räkneoperationerna + och · på N och räknelagarna som styr dessa. Division med rest på N. Algoritmer för addition, subtraktion, multiplikation och division med rest.
Talsystem
Kapitel 2 i [B] börjer med ett avsnitt om olika historiska talsystem. Du skall känna till de egyptiska, babyloniska, romerska och mayaernas talsystem. Talsystem är antingen grupperingssystem eller positionssystem eller har element av båda, som du ser i det babyloniska talsystemet. Vårt talsystem är ett positionssystem. T.ex. består talet 5112 av fyra siffror, men de två ettor har inte samma värde, den första har värde 100 och den andra bara 10. Vårt talsystem är ett decimalsystem, dvs. det är ett bas 10 system och alla tal kan representeras m.h.a. de tio symboler 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Basen för ett posistionssystem är antalet symboler som behövs för att skriva alla heltal. På sidorna 70-74 behandlas talsystem med andra baser än 10, t.ex. binära talsystemet som har basen 2. Man användar symbolen 0 och 1 som symboler i binära talsystemet, alla tal kan skrivas m.h.a. dessa, men olämpen med bara två symbol är att man snabbt får många siffror i talen. T.ex. är 11111 det största talet som kan skrivas m.h.a fem siffror i binära talsystemet, och detta tal är bara 31 i vanlig decimalrepresentation. Du skall kunna konvertera ett decimaltal till binärt och du ska kunna konvertera ett tal i en annan bas till decimalsystemet. Se exempel 2-3 sidan 72-73.
Mängder och mängdoperationer
Denna kurs tar upp de naturliga talen N, heltalen Z, rationella talen Q och de reella talen R. N, Z, Q och R är mängder, dvs; samling av objekt, där man kan avgöra om ett givit element tillhör mängden eller ej. Resten av kapitel 2 i [B] handlar om mängder (eng: set) och dess operationer. Lär dig symbolerna kring mängder, t.ex. symboler för union, snittmängd (eng: intersection), delmängd (eng: subset) och äkta delmängd (eng: proper subset).
Att räkna är att ställa upp en 1-1 korrespondens (s. 80-81 i [B]) mellan objekt i en mängd och delmängder av N. Att det finns 23 elever i klassen betyder t.ex. att det finns en 1-1 korrespondens mellan mängden av elever i klassen och delmängden {1,2,3,4, ... ,23} av N. Begreppet 1-1 korrespondens är viktigt, särskilt för att förstå oändliga mängder. I samband med mängders kardinalitet betraktas också ordningsrelationerna <, ≤ och >, ≥ på s. 87-88 i detta kapitel.
Mängden N tillsammans med dess operationer +, - och ·
Addition och subtraktion av de positiva hela talen inleds i avsnitt 3.1 i [B], multiplikation och heltalsdivision med rest i avsnitt 3.3.
Räkneoperationerna + och · på (positiva) heltal uppfyllar olika räknelagar. Dessa viktiga räknelagar presenteras och motiveras s.114-116 och 147-148.
Om man tar två olika heltal a och b kan man alltid beräkna ab och a+b, och de två resultaten blir heltal. Man säger att heltalen är slutna (eng:closed) under multiplikation och addition. Man kan inte ta to godtyckliga heltal a ach b och beräkna ett heltal a/b. Ibland kan man, t.ex. är 6/2=3, men man kan t.ex. inte beräkna 1/2 eftersom talet 'en halv' inte är ett heltal. Man säger att heltalen inte är slutna under division. Om man vill ha division på heltalen måste man därför införa division med rest (eng: division with remainder), och det kan man m.h.a. Divisionsalgoritmen sidan 152. Notera att resten r och kvoten q i Divisionsalgoritmen är entydigt bestämta (eng: uniquely determined), eftersom satsen är formulerat sådan att r måste vara icke-negativ och mindre än det tal man delar med.
I avsnitt 3.2 och 3.4 i [B] beskrivs olika algoritmer för addition, subtraktion, multiplikation och division. Titta igenom dessa. Det är värt också att försöka motivera m.h.a. räknelagarna för (positiva) heltal varför dessa algoritmer funker.
I samband med kapitel 2 och 3 i [B] ska du även studera kapitel 1, avsnitt 2.7.1, 3.7.4 och 4.3-4.4 i [L].
Fortsätt också studera avhandlingen av Möllehed om problemlösning som du började sista veckan.
Övningar
Talsystem
- [B] Assessment 2-1 A s.74-75: uppg. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11a, 12, 14a, 15b, 21, 22.
Mängder och mängdoperationer
- [B] Preliminary Problem, s.61;
- [B] Assessment 2-2 A s.90-91: uppg. 1, 3, 4, 6, 7, 10, 13.
Mängden N tillsammans med dess operationer +, - och ·
- [B] Assessment 3-1 A sidan 123-124: uppg. 17, 18
- [B] Assessment 3-2 A sidan 136-138: uppg. 8,9,10, 11
- [B] Assessment 3-3 A sidan 156-157: uppg. 1, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 21, 26, 27, 28
- [B] Assessment 3-4 A sidan 172-173: uppg. 1,4,5,7, 11, 19, 20,
Discussion Forums
If you have not already done so, write an introduction to yourself on the presentation forum in WebCT.Also, this is a distance course, and this means that the pedagogical and didactical discussions mainly take place on discussion forums in WebCT. You should be active in all discussions and have as a goal to write at least two considered discussion posts per week. You are allowed to start new discussions in the forums yourself, if you have something you have an opinion about and would like to hear what others think.