Referenser

Innehåll

Nyckelord

Aritmetik med heltal

Delbarhet

Sammansatta tal och primtal

Primtalsfaktorisering

Övningar


Heltalen och grundläggande talteori

Nyckelord

Heltalen - addition, subtraktion och multiplikation, också med negativa tal. Delbarhet, primtal, sammansatta tal, primtalsfaktorisering. Eratosthenes såll.

Heltalen Z - addition och subtraktion

På sidan 250 i avsnitt 5.1 i [B] kommer du i kontakt med det olyckliga valet av ett symbol - minustecknet - i två olika betydelser. Man användar minustecknet båda för räkneoperationen subtraktion (som t.ex i 4 - 6) och för att ange negativa tal (som t.ex i (-2)). Talen 5 och (-5) kallas för motsatta tal, vilkoret är att 5+(-5) = 0. Talen 5 och (-5) kallas också för additiva inverser till varandra, och talet 0 är det s.k. additiva identitetselement för Z. Begreppet additiv invers är mycket viktigt, du hittar det på sidan 256. Varför är detta så viktigt? När man inför subtraktion i skolan och också i [B], och historisk sett, inför man denna räkneoperation som en ny räkneoperation; men i den högere algebran gör man inte så. Man gör en abstraktion och definierar endast addition och multiplikation för heltal (och rationella tal); negativa tal och subtraktion definieras m.h.a additiva inversen till ett tal, och det är lagen om entydighed av additiv invers ( [B] Thm 5-2) som gör att det blir väldefinierad.

Heltalen Z - multiplikation och division

I avsnitt 5.2 i [B] visas med s.k. induktiv 'bevisföring' att produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ och att produkten av två negativa tal är positiv. Detta mönster kan sedan generaliseras till flera faktorer. Kan du formulera en allmän regel för tecknet på en produkt?
Det är viktigt att förstå att induktiva argument, där man konkluderar almänna resultat utifrån exempel inte är bevis i ordets matematiska innebörd, eftersom matematik inte är en empirisk vetenskap; men om man ska lära ut hur man räknar med negativa tal, går det inte att göra på ett strikt algebraisk sätt i skolan, begreppen är för abstrakta för eleverna. Jag skal visa er axiomssystemet för ringen Z på föreläsningen på fredag, eftersom det är viktigt för er att veta vad som är axiom och vad som måste bevisas, om man vill införa heltalen och dess operationer på ett mer noggrant sätt.

Observera på sidan 273, att det ockå finns ett identitetselement för multiplikation, 1, men det finns ingen lag om 'multiplikativ invers' som motsvarar lagen om existens av additiv invers för heltal. Det finns faktisk bara två heltal a som har en multiplikativ invers a-1 i Z så att aa-1=1, och det är 1 och (-1). På sidan 274 tar man upp den viktiga konjugatregeln (a+b)(a-b) = a2 - b2, hjälpmedel vid huvudräkning och de viktiga prioriteringsreglerna inom aritmetik. Dessa lagar måste du känna till.

Delbarhet och primtalsfaktorisering

Avsnitten 5.3 - 5.4 i [B] behandlar lite talteori. Kom ihåg att vi fortfarande bara känner till heltal när du ställs inför begreppet delbarhet (eng: divisibility). Det är viktigt at skilja mellan 2/4 och 2|4. 2/4 är ett rationellt tal lika med en halv, medan 2|4 beskriver en relation mellan heltalen 2 och 4. Delbarhetsreglerna på sidorna 290-94 ska du kunna. Begreppet primtalsfaktorisering är viktigt. Satsen på sidan 303 säger att ett positivt heltal bara kan primtalsfaktoriseras på ett enda sätt, om man undantar ordningen mellan faktorerna. På sidorna 305-306 finns anvisningar till hur man beräknar antalet delare till ett tal, hoppa över detta. Gå till sidan 306 och Eratosthenes såll, en trevlig algoritm som hittar alla primtal upp till en given gräns.

I samband med kapitel 5 i [B] ska du även studera avsnitt 3.4.2, 2.1, 6.5 och 7.6.3 i [L] .

Fortsätt också studera avhandlingen av Möllehed om problemlösning som du började för tre veckor sen. Mölleheds avhandling kommer vara grundlag för en senare fältstudie under en del av andra läsperioden. Vi diskuterar avhandlingen på kursträffen, så det är viktigt at vara klar med läsningen före kursträffen i vecka 42.



Övningar

Räkning med negativa tal

Delbarhet

Primtal och sammansatta tal

Discussion Post

This week, start a new discussion on WebCT about a teaching problem pertaining to your pupils' understanding of integer arithmetic. It is imperative to take part in the pedagogical/didactical discussions as exchanging ideas with other teachers is one of the keys to becoming a proficient teacher.